高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.3 几何概型课件 理.ppt

第十二章概率 随机变量及其概率分布 12 3几何概型 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 几何概型的概念设D是一个可度量的区域 例如 等 每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点 区域D内的每一点被取到的机会 随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的 这时 事件A发生的概率与d的测度 等 成正比 与d的形状和位置无关 我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型 线段 平面图形 立体图形 都一样 某个指 定区域d中的点 长度 面积 体积 知识梳理 1 答案 2 几何概型的概率计算公式一般地 在几何区域D中随机地取一点 记事件 该点落在其内部一个区域d内 为事件A 则事件A发生的概率P A 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有 2 等可能性 每个结果的发生具有 无限多个 等可能性 答案 4 随机模拟方法 1 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验 以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 2 用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法 这个方法的基本步骤是 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数 并赋予每个随机数一定的意义 统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N 计算频率fn A 作为所求概率的近似值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在一个正方形区域内任取一点的概率是零 2 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一点被取到的机会相等 3 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 4 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 5 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 6 从区间 1 10 内任取一个数 取到1的概率是P 思考辨析 答案 1 教材改编 在线段 0 3 上任投一点 则此点坐标小于1的概率为 解析坐标小于1的区间为 0 1 长度为1 0 3 区间长度为3 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2015 山东改编 在区间 0 2 上随机地取一个数x 则事件 1 1 发生的概率为 由几何概型的概率计算公式得所求概率 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 辽宁改编 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A 解析答案 1 2 3 4 5 4 2014 福建 如图 在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子 有180粒落到阴影部分 据此估计阴影部分的面积为 解析由题意知 这是个几何概型问题 S正 1 S阴 0 18 0 18 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 如图 圆中有一内接等腰三角形 假设你在图中随机撒一把黄豆 则它落在阴影部分的概率为 解析设圆的半径为R 由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1 1 2015 重庆 在区间 0 5 上随机地选择一个数p 则方程x2 2px 3p 2 0有两个负根的概率为 解析方程x2 2px 3p 2 0有两个负根 题型一与长度 角度有关的几何概型 解析答案 解析答案 3 如图所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC内作射线AM交BC于点M 求BM 1的概率 解因为 B 60 C 45 所以 BAC 75 记事件N为 在 BAC内作射线AM交BC于点M 使BM 1 则可得 BAM BAD时事件N发生 解析答案 引申探究 解析答案 2 若本例 3 中 在 BAC内作射线AM交BC于点M 改为 在线段BC上找一点M 求BM 1的概率 解析答案 思维升华 求解与长度 角度有关的几何概型的方法求与长度 角度 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 角度 然后求解 要特别注意 长度型 与 角度型 的不同 解题的关键是构建事件的区域 长度或角度 思维升华 1 如图 在直角坐标系内 射线OT落在30 角的终边上 任作一条射线OA 则射线OA落在 yOT内的概率为 解析如题图 因为射线OA在坐标系内是等可能分布的 跟踪训练1 解析答案 解析由题意得A x 1 x 5 B x 2 x 3 故A B x 2 x 3 由几何概型知 在集合A中任取一个元素x 解析答案 命题点1与平面图形面积有关的问题 题型二与面积有关的几何概型 解析答案 解析由图形知C 1 2 D 2 2 命题点2与线性规划知识交汇命题的问题 例3 2014 重庆 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 解析答案 思维升华 解析设小张与小王的到校时间分别为7 00后第x分钟 第y分钟 根据题意可画出图形 如图所示 则总事件所占的面积为 50 30 2 400 小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A x y y x 5 30 x 50 30 y 50 思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时 关键是弄清某事件对应的面积 必要时可根据题意构造两个变量 把变量看成点的坐标 找到全部试验结果构成的平面图形 以便求解 思维升华 1 在区间 内随机取出两个数分别记为a b 则函数f x x2 2ax b2 2有零点的概率为 解析由函数f x x2 2ax b2 2有零点 可得 2a 2 4 b2 2 0 整理得a2 b2 2 如图所示 a b 可看成坐标平面上的点 试验的全部结果构成的区域为 a b a b 其面积S 2 2 4 2 事件A表示函数f x 有零点 所构成的区域为M a b a2 b2 2 即图中阴影部分 其面积为SM 4 2 3 跟踪训练2 解析答案 解析答案 解析如图 平面区域 1就是三角形区域OAB 平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就是区域OACD 故由几何概型的概率公式 例4在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 点O为底面ABCD的中心 在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 题型三与体积有关的几何概型 解析答案 思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题 关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事件空间 对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 思维升华 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 有一动点在此长方体内随机运动 则此动点在三棱锥A A1BD内的概率为 跟踪训练3 解析答案 返回 易错警示系列 典例 14分 在长度为1的线段上任取两点 将线段分成三段 试求这三条线段能构成三角形的概率 易错分析不能正确理解题意 无法找出准确的几何度量来计算概率 易错警示系列 16 混淆长度型与面积型几何概型致误 温馨提醒 解析答案 返回 易错分析 规范解答解设x y表示三段长度中的任意两个 因为是长度 所以应有0 x 1 0 y 1 0 x y 1 即 x y 对应着坐标系中以 0 1 1 0 和 0 0 为顶点的三角形内的点 如图所示 6分 要形成三角形 由构成三角形的条件知 故图中阴影部分符合构成三角形的条件 10分 温馨提醒 解析答案 温馨提醒 解决几何概型问题的易误点 1 不能正确判断事件是古典概型还是几何概型 导致错误 2 利用几何概型的概率公式时 忽视验证事件是否具有等可能性 导致错误 返回 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个 2 转化思想的应用对一个具体问题 可以将其几何化 如建立坐标系将试验结果和点对应 然后利用几何概型概率公式 1 一般地 一个连续变量可建立与长度有关的几何概型 只需把这个变量放在坐标轴上即可 方法与技巧 2 若一个随机事件需要用两个变量来描述 则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件 然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型 3 若一个随机事件需要用三个连续变量来描述 则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件 利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型 方法与技巧 1 准确把握几何概型的 测度 是解题关键 2 几何概型中 线段的端点 图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2014 湖南改编 在区间 2 3 上随机选取一个数X 则X 1的概率为 解析在区间 2 3 上随机选取一个数X 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 已知 ABC中 ABC 60 AB 2 BC 6 在BC上任取一点D 则使 ABD为钝角三角形的概率为 解析如图 当BE 1时 AEB为直角 则点D在线段BE 不包含B E点 上时 ABD为钝角三角形 当BF 4时 BAF为直角 则点D在线段CF 不包含C F点 上时 ABD为钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如图所示 正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D 且区域D的面积为4 而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域 易知该阴影部分的面积为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 已知一只蚂蚁在边长分别为5 12 13的三角形的边上随机爬行 则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为 解析由题意可知 三角形的三条边长的和为5 12 13 30 而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行 则它爬行的区域长度为3 10 11 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 如图 由题意知 在矩形ABCD内任取一点Q m n 点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率 易知直线m n恰好将矩形平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析半圆域如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 随机向边长为5 5 6的三角形中投一点P 则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是 解析由题意作图 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知向量a 2 1 b x y 1 若x y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为1 2 3 4 5 6 先后抛掷两次时第一次 第二次出现的点数 求满足a b 1的概率 解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次 所包含的基本事件总数为6 6 36 个 由a b 1有 2x y 1 所以满足a b 1的基本事件为 1 1 2 3 3 5 共3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若x y在连续区间 1 6 上取值 求满足a b 0的概率 解若x y在连续区间 1 6 上取值 则全部基本事件的结果为 x y 1 x 6 1 y 6 满足a b 0的基本事件的结果为A x y 1 x 6 1 y 6且 2x y 0 画出图形如图 矩形的面积为S矩形 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 一个长方体空屋子 长 宽 高分别为5米 4米 3米 地面三个角上各装有一个捕蝇器 大小忽略不计 可捕捉距其一米空间内的苍蝇 若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入 并在房间内盘旋 则苍蝇被捕捉的概率是 解析屋子的体积为5 4 3 60立方米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 p1 p2 p3 p2 p3 p1 p3 p1 p2 p3 p2 p1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如图 点 x y 所处的空间为正方形OBCA表示的平面区域 包括其边界 故本题属于几何概型中的 面积比 型 分别画出三个事件对应的图形 根据图形面积的大小估算概率的大小 满足条件的x y构成的点 x y 在正方形OBCA及其边界上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 对三者的面积进行比较 可得p2 p3 p1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若 ABC的面积小于或等于5 所以点B的横坐标x 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 ABC的面积小于或等于5的概率为 14 已知集合A 2 2 B 1 1 设M x y x A y B 在集合M内随机取出一个元素 x y 1 求以 x y 为坐标的点落在圆x2 y2 1内的概率 解集合M内的点形成的区域面积S 8 因圆x2 y2 1的面积S1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 形成的区域如图中阴影部分 阴影部分面积S2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解设甲 乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y 记事件A为 两船都不需要等待码头空出 则0 x 24 0 y 24 要使两船都不需要等待码头空出 当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件构成集合A x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 A为图中阴影部分 全部结果构成集合 为边长是24的正方形及其内部 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回