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第一章习题 1 1何谓布喇菲格子 试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇菲格子 答 所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成 原子与晶格的格点相重合 而且每个格点周围的情况都一样 Bravais格子 氯化钠结构 面心立方Na 布氏格子和面心立方Cl 的布氏格子套构而成的复式格子 1 2为何金刚石结构是复式格子 答 金刚石晶胞 位于立方体体内原子和立方体角或面心原子价键的取向各不相同 所以是复式格子 这种复式格子实际上是两个面心立方格子套构而成的 1 3对于六角密堆积结构 试证明 底面原子及与体心原子之间均紧密接触 则红线的长度为 如果 则可认为是由原子密排面所组成 但这些平面之间是疏松堆积的 1 4金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构 假定相变时金属的密度维持不变 已知立方相的晶格常数ac 0 423nm 设六角密堆积结构相的c a维持理想值 试求其晶格常数 解 体心立方每个晶胞包含2个原子 一个原子所占的体积为 单位体积内原子数 即密度 为 六角密堆积每个晶胞包含6个原子 一个原子所占的体积为 即 因为密度不变 所以 1 5如将等体积的刚球分别排成简立方 体心立方 面心立方 六角密积以及金刚石结构 设x表示刚球体积与总体积之比 试针对不同的结构求x 解 理想晶体是由刚性原子球堆积而成 一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度 即题中的x 设n为一个晶胞中的刚性原子球数 r表示刚性原子球半径 V表示晶胞体积 则致密度为 1 简单立方 任意一个原子球有6个最近邻 若原子以刚性球堆积 则有 晶胞内包含一个原子 所以有 任意一个原子球有8个最近邻 若原子以刚性球堆积 则体心原子与处在8个顶角位置处的原子球相切 因此 对角线长度为 2 体心立方 晶胞体积为 晶胞内包含2个原子 所以有 3 面心立方 4 六角密积 任意一个原子球有12个最近邻 若原子以刚性球堆积 则面心原子与面角处4个原子球相切 因此 面对角线长度为 晶胞体积为 晶胞内包含4个原子 所以有 任意一个原子球有12个最近邻 若原子以刚性球堆积 则面心原子与面上其它6个原子球相切 因此有 晶胞体积 由第1题知 晶胞内包含6个原子 所以有 5 金刚石结构 任意一个原子球有4个最近邻 若原子以刚性球堆积 则空间对角线四分之一处的原子与三个面上的面心原子球及顶角处原子球相切 因此有 晶胞体积为 晶胞内包含8个原子 所以有 简立方 体心立方 面心立方 六角密积以及金刚石结构的致密度依次为 1 6 基矢为 的晶体为何种结构 方法1 先计算出原胞体积 由原胞体积可推断为体心结构 方法2 由已知的三个基矢构造三个新的基矢 由此可推断为体心结构 1 7 1 8 1 9 1 10 1 12和1 13见课件 1 11已知三斜晶系的晶体中 三个基矢为 和 现测知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为 和 试求该晶面的面指数 晶面指数为 其中是保证为互质数的因子 称为互质因子 1 14如图所示 B C两点是面心立方晶胞上的两面心 求 1 ABC面的密勒指数 2 AC晶列的指数 矢量与矢量的叉乘即是ABC面的法线矢量 ABC面的密勒指数为 1 2 AC晶列的指数 所以AC晶列的晶列指数为 第二章习题 2 1证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲格子 并给出其倒格子的晶格常数 解 在直角坐标系中 简单六角布喇菲格子的基矢为 相应的倒格子基矢为 容易看出此倒格子为简单六角布喇菲格子 晶格常数为 2 2对正交简单晶格 假设沿三个基矢方向的周期分别为a b和c的 当入射X射线方向沿 100 方向 其重复周期为a 时 试确定在哪些方向上会出现衍射极大 什么样的X射线波长才能观察到极大 解 任意倒格矢 因入射X射线方向沿 100 方向故有 晶体衍射的布里渊表述 假定衍射极大出现在方向 所以衍射极大出现在方向 为观察到衍射极大要求入射波波长满足 2 3证明 体心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义 体心立方格子原胞基矢 倒格子基矢 同理 面心立方格子原胞基矢 倒格子基矢 同理 2 4证明倒格子原胞体积 倒格子基矢 倒格子体积 2 5正格子中晶面指数为的晶面和倒格矢正交 证明 所以晶面族与和倒格矢正交 同理可证 2 6试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 见课件 2 8试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第二布里渊区 2 9试画出边长为的二维正方格子的第一和第二布里渊区 2 7如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面 其面密度比较大 容易解理 简单正交系 倒格子基矢 倒格子矢量 晶面族的面间距 面指数越简单的晶面 其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大 这样的晶面越容易解理 倒格子基矢 2 10假设具有立方对称 由同种原子构成的某种晶体 在对其进行x射线分析时 在衍射谱图中只观察到 110 200 220 或 222 等衍射峰 但没有观察到 100 300 111 或 221 等衍射峰 试通过分析说明该晶体具有何种类型的晶体结构 解 对立方对称晶体 有简单立方 体心立方和面心立方三种典型的晶体结构 对同种原子组成的面心立方晶体 衍射指数全偶或全奇时 衍射强度最强 而衍射指数中部分为奇或部分为偶的衍射峰消失 200 220 或 222 衍射峰的的衍射指数全为偶数 但同时出现 110 衍射峰 这是部分为奇和部分为偶的情况 故可判断该晶体并非面心立方结构 对简单立方 只能出现偶数指数的衍射峰 由于 110 衍射峰的出现 可判断该晶体并非简单立方结构 对同种原子组成的体心立方晶体 晶胞中包含2个原子 其中一个在立方体顶角 另一个在立方体体心 它们的坐标分别为 000 和 1 2 1 2 1 2 得到衍射强度为 可见 当衍射指数之和为奇数时 反射消失 而对于衍射指数之和为偶数时 衍射加强 110 200 220 或 222 等衍射峰符合衍射指数之和为偶数的条件 衍射加强 而 100 300 111 或 221 等衍射峰符合衍射指数之和为奇数的条件 反射消失 因此 根据观察到的衍射峰特征可判断该晶体具有体心立方结构 2 11对面心立方的KBr晶体 其中K和Br离子各自组成一套面心格子 试通过分析论证该晶体的衍射谱图有何特征 解 对面心立方结构的晶体 晶胞中共包含4个原子 其中一个在立方体顶角 另三个在立方体面心 它们的坐标分别为 000 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 和 0 1 2 1 2 由此得到衍射强度为 可见 对于衍射指数中部分为奇或部分为偶时 而对衍射指数全偶或全奇时 此时衍射强度最小 衍射强度最强 2 12从形式上看 KCl非常相似KBr 但对KCl进行衍射分析时 实验上观察到和KBr相似的面指数全为偶数的衍射峰 但没有观察到面指数全为奇数的衍射峰 为什么 答 实验上观察到和KBr相似的面指数全为偶数的衍射峰 说明KCl晶体具有和KBr相似的面心立方结构 但没有观察到面指数全为奇数的衍射峰 说明两者又不完全相同 这是因为KCl中两种离子的电子数目相等 散射振幅几乎相同 因此 对X 射线来说 就好似一个晶格常数为a 2的单原子简单立方晶格 对简单立方晶格 只出现偶数指数的衍射峰 2 13对由同种原子 碳 构成的金刚石晶体 试求出衍射强度不为零的条件 对于金刚石晶体 选择立方体作为晶胞 则每个晶胞中共有8个原子 一个在立方体顶角上 坐标为 三个在立方体的面心位置 坐标分别为 另外四个在立方体对角线的1 4位置处 坐标分别 将这些原子坐标代入式得到衍射强度为 由上式很容易求出衍射强度不为零的条件是 衍射面指数nh nk和nl均为奇数 衍射面指数nh nk和nl均为偶数且也为偶数 如果衍射面指数不满足上述两条件 则衍射消失 3 1证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数 假设参考离子带负电荷 则正离子取 负离子取 参考离子 则有 利用 第三章习题 3 2若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为 计算1 平衡间距r02 结合能W 单个原子的 3 体弹性模量4 若取计算的值 1 平衡间距r0的计算 平衡条件 2 单个原子的结合能 晶体内能 3 体弹性模量 晶体的体积 A为常数 N为原胞数目 晶体内能 体弹性模量 由平衡条件 体弹性模量 4 若取计算的值 3 3设若一晶体平衡时体积为V0 原子间总的相互作用能为U0 如果原子间相互作用能由式所表述 试证明压缩系数为 证明 体弹性模量 晶体体积 因此 体弹性模量可表示为 3 4已知有N个离子组成的NaCl晶体 其结合能为现以来代替排斥项 且当晶体处于平衡时 这两者对互作用势能的贡献相同 试求n和 的关系 将结合能在平衡位置处展开 以代替后 根据题意 结合能 两式相比 n和 的关系 3 5计算面心立方简单格子的A6和A12 1 只计最近邻 2 计算到次近邻 o 1 1 1 角顶o原子周围有8个这样的晶胞 标号为1的原子是原子o的最近邻 总共有12个最近邻 以最近邻距离度量 则aj 1 2 2 2 R为最近邻距离 若只计最近邻则 标号为2的原子是原子o的次近邻 总共有6个次近邻 以最近邻距离度量 则aj 21 2 若计算到次近邻则 4 1对一维双原子分子链 原子质量均为m 原子统一编号 任一原子与两最近邻的间距不同 力常数分别为 1和 2 晶格常数为a 求原子的运动方程以及色散关系 123 n 1nn 1 N 2N 1N 第n 1与第n 1个原子属于同一种原子 n 2n 3 第n与第n 2个原子属于同一种原子 于是第n个原子受的力为 第n 1个原子受的力为 第四章习题 对每种原子 可写出其运动方程 将方程的解写成角频率为 的简谐振动的形式 即 色散关系 得到 A B非0解的条件是系数行列式必须为0 即 由此得到 4 2问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动 振动频率较高 包含了晶格振动频率最高的振动模式 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移 原胞做整体振动 振动频率较低 包含了晶格振动频率最低的振动模式 任何晶体都存在声学支格波 但简单晶格晶体不存在光学支格波 4 3按德拜模型试计算晶体中的声子数目 并对高温和很低温度两种情况分别进行讨论 频率为 的格波的声子数 对德拜模型 模式密度或频率分布函数为 则总的声子数 高温 所以高温时声子数为 很低温度 作变量变换 4 4设一长度为L的一维简单晶格 原子质量为m 原子间距为a 原子间的相互作用势可表示成试由简谐近似求 1 色散关系 2 模式密度D 3 晶格比热 1 色散关系 恢复力常数 代入 得到色散关系为 设单原子链长度 波矢取值 每个波矢的宽度 状态密度 dq间隔内的状态数 对应 q 取值相同 d 间隔内的状态数目 2 模式密度D 一维单原子链色散关系 令 两边微分得到 d 间隔内的状态数目 代入 一维单原子链的频率分布函数 3 晶格比热 频率为 的格波的热振动能为 整个晶格的热振动能为 4 5设晶体中每个振子的零点振动能为 试用德拜模型求晶体的零点振动能 根据量子力学零点能是谐振子所固有的 与温度无关 故T 0K时振动能E0就是各振动模零点能之和 4 6如果原子离开平衡位置位移后的势能为如用经典理论 试证明比热为 4 7假设晶体总的自由能可表示为其中表示晶格振动对系统自由能的贡献 是绝对零度时系统的内能 若可表示其中是德拜温度 试证明 1 压力 为格林爱森常数 2 线膨胀系数 4 8 1 温度一定时 问一个光学波的声子数目和一个声学波的声子数目哪个多 2 对同一个振动模式 问温度高时的声子数目和温度低时的声子数目哪个多 频率为 的格波的平均声子数为 1 光学波的频率总是比声学波的频率高 所以 温度一定时 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目 2 温度高时的声子数目多于温度时的声子数目 5 1试问绝对零度时价电子与晶格是否交换能量 晶格的振动形成格波 价电子与晶格交换能量 实际上是价电子与格波交换能量 格波的能量子称为声子 因此 价电子与格波交换能量可看成是价电子与声子交换能量 频率为 的格波的声子数 绝对零度时 任何频率的格波的声子全部消失 因此 绝对零度时价电子与晶格不再交换能量 第五章习题 5 2试问晶体膨胀时费米能级如何变化 费米能级 晶体膨胀时 体积变大 但电子数目不变 故n变小 因此 费米能级降低 5 3试问为什么价电子的浓度越高 电导率越高 从公式看 电导率正比于价电子的浓度 因此 价电子浓度越高 电导率就越高 然而 并非所有价电子都参与导电 仅仅费米面附近的电子才参与对导电的贡献 因此 费米球越大 对导电有贡献的电子数目就越多 而费米球的半径 可见 电子浓度越高 费米球就越大 对导电有贡献的电子什么也就越多 因此 电导率就越高 5 4假设二维电子气的能态密度试证明费米能为其中n为单位面积的电子数 单位面积金属的电子总数为 5 5试求一维金属中自由电子的能态密度 费米能级 电子平均动能以及一个电子对比热的贡献 设一维金属中有N个导电电子 晶格常数为a 则状态密度为 能态密度 则在k k dk范围内电子数为 在E E dE内电子数为 绝对零度时费米能级以下所有态被电子占据 故有 平均一个电子所具有的能量 平均一个电子对比热的贡献为 5 6试求二维金属中自由电子的能态密度 费米能级 电子平均动能以及一个电子对比热的贡献 设二维金属的面积为S 则状态密度为 能态密度 则在k k dk范围内电子数为 在E E dE内电子数为 绝对零度时费米能级以下所有态被电子占据 故有 平均一个电子所具有的能量 平均一个电子对比热的贡献为 5 7证明 当时 电子数目每增加一个 则费米能变化为其中为费米能级处的能态密度 电子数目每增加一个 费米能的变化 5 8每个原子占据的体积为a3 绝对零度时价电子的费米半径为 计算每个原子的价电子数目 根据自由电子气模型 绝对零度时费米半径为 而已知金属绝对零度时费米半径为 两者比较可知电子密度为 因此该金属的原子具有两个价电子 银的质量密度 原子量 电阻率 5 9若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量 1 费密能量和费密温度2 费密球半径3 费密速度4 在室温以及低温时电子的平均自由程 1 费密能量和费密温度 费密能量 费密温度 2 费密球半径 3 费密速度 4 在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率 驰豫时间 平均自由程 0K到室温之间的费密半径变化很小 平均自由程 6 1电子在周期场中的势能函数 且a 4b 是常数 1 画出此势能曲线 并计算势能的平均值 2 用近自由电子模型计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 第六章习题 势能的平均值 势能的平均值 令 近自由电子近似中 势能函数的第n个傅里叶系数 禁带宽带 第一带隙宽度 第二带隙宽度 6 2对于一维周期势场中运动的电子 试求电子处在下列态中的的波矢 其中a是晶格常数 根据布洛赫定理 一维情形布洛赫定理 1 电子的波函数 电子的波矢 2 电子的波函数 电子的波矢 3 电子的波函数 电子的波矢 4 电子的波函数 电子的波矢 能隙 布里渊顶角 a a 处的能隙 布里渊顶角 布里渊顶角处的能隙 6 4假设有一维单原子链 原子间距a 总长度为L Na1 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数2 求出其能带密度函数的表达式3 如每个原子s态中只有一个电子 计算T 0K时的费密能级和处的能态密度 只计入最近邻格点原子的相互作用时s态原子能级相对应的能带函数表示为 对于一维情形 任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点 坐标为 a和 a 能带密度函数的计算 对于一维格子 波矢为具有相同的能量此外考虑到电子自旋有2种取向 在dk区间的状态数 能带密度 T 0K的费密能级计算 总的电子数 其中 T 0K的费密能级 T 0K费密能级处的能态密度 6 5已知一维晶格中电子的能带可写成式中a是晶格常数 m是电子的质量 求 1 能带宽带 2 带顶和带底电子的有效质量 1 能带宽带为 由极值条件 2 有效质量 带顶有效质量 带底有效质量 2 110 方向 6 6对简单立方结构晶体 其晶格常数为a 1 用紧束缚法求s态电子的能带 2 分别画出第一布氏区 110 方向的能带和有效质量 1 用紧束缚法求s态电子的能带 见课件 能带变成 有效质量 6 7对体心立方结构晶体 其晶格常数为a 1 用紧束缚法求s态电子的能带 2 画出第一布氏区 111 方向的能带曲线 3 求带顶和带底电子的有效质量 代入得到 1 s态能带 体心立方最近邻有八个原子 2 第一布氏区 111 方向的能带 111 方向 能带变成 3 求带顶和带底电子的有效质量 带底 带顶 6 8对面心立方结构晶体 其晶格常数为a 1 用紧束缚法求s态电子的能带 2 求带底电子的有效质量 代入得到 1 s态能带 面心立方最近邻有12个原子 带底