高等数学第五版第一章.ppt

1 极限存在准则 两个重要极限 小结思考题作业 第六节极限存在准则两个重要极限 第一章函数与极限 2 1 夹逼准则 证 准则 满足下列条件 一 极限存在准则 如果数列 那末数列 的极限存在 且 3 上两式同时成立 上述数列极限存在的准则可以推广到函数 的极限 4 称为 准则 如果 那末 存在 且等于A 夹逼准则 有 准则 准则 和 5 例 解 由夹逼定理得 6 注 利用夹逼准则是求极限的一个重要手段 将复杂的函数f x 做适当的放大和缩小化简 找出有共同极限值又容易求极限的函数g x 和h x 即可 7 2 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释 单调有界数列必有极限 单调有界 有极限 有界 8 例 证 极限存在 显然 1 是单调增加的 2 是有界的 存在 9 舍去 3 极限存在 解得 10 准则 单调并且有界 设函数f x 在点x0的某个右邻域内 则f x 在点x0 右极限 必定存在 单调有界数列必有极限 函数极限也有类似的准则 对于自变量的 不同变化过程 准则有不同的形式 11 1 作为准则 的应用 二 两个重要极限 12 即 夹逼定理 该极限的特点 13 一般有 问 正确 14 例 例 例 例 15 练习 解 16 解 由于 以及 夹逼定理 17 2 作为准则 的应用 现证明数列 xn 单调增加 按牛顿二项公式 有 且有界 18 类似地 显然 是单调增加的 19 无理数 单调有界数列必有极限 是有界的 20 当x实数趋向或时 因此 中的底就是这个常数 或 的极限都存在且等于 函数 可证明 指数函数 以及自然对数 21 以1加非零无穷小为底 指数是无穷小的倒数 其极限为数e 该极限的特点 2 括号中1后的变量 包括符号 与幂互为倒数 若极限呈 但第二个特点不具备 通常凑指数幂使 2 成立 这个重要极限应灵活的记为 则 一般有 22 问 正确解法 则 由于当 故 从而原式 23 例 例 例 例 24 例 例 解 原式 25 1 选择题 D 练习 C 26 A 解 或 27 2 两个重要极限 夹逼准则 单调有界准则 三 小结 1 极限存在准则 x j 28 思考题 1 求极限 2 求极限 3 2002年考研数学二 8分 29 思考题解答 2 原式 30 解 均为正数 故 设 则 由数学归纳法知 对任意正整数 均有 因而数列 有界 3 2002年考研数学二 8分 31 又当 因而有 即数列 单调增加 由单调有界数列必有极限知 存在 两边取极限 得 解之得 舍去 32 作业 习题1 6 55页 1 1 3 5 6 2 4 2 4 5