向量组及其线性组合.ppt

第四章向量组的线性相关性 1向量组及其线性组合 定义 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 备注 一般只讨论实向量 特别说明的除外 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时 都当作列向量 列向量用黑色小写字母a b a b等表示 行向量则用aT bT aT bT表示 只有一行的矩阵称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 或列向量 二 特殊的矩阵 n维向量的运算 1 向量相等 维数相同且对应元素相等 向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算 2 向量相加 维数相同 对应元素相加 3 向量的数乘 数乘以向量的每一个分量 n维向量的运算律 定义 若干个同维数的列向量 行向量 所组成的集合称为向量组 结论 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 有限向量组 当R A n时 齐次线性方程组Ax 0的全体解组成的向量组含有无穷多个同维数的向量 定义 给定向量组A a1 a2 am 对于任何一组实数k1 k2 km 表达式k1a1 k2a2 kmam称为向量组A的一个线性组合 k1 k2 km称为这个线性组合的系数 定义 给定向量组A a1 a2 am和向量b 如果存在一组实数l1 l2 lm 使得b l1a1 l2a2 lmam则向量b是向量组A的线性组合 这时称向量b能由向量组A的线性表示 线性方程组Ax b有解 例 设 那么 线性组合的系数 e1 e2 e3的线性组合 一般地 对于任意的n维向量b 必有 n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量 回顾 线性方程组的表达式 一般形式向量方程的形式 增广矩阵的形式向量组线性组合的形式 方程组有解 向量是否能用线性表示 结论 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 向量b能由向量组A线性表示 线性方程组Ax b有解 结论 定义 设有向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与向量组B能互相线性表示 则称这两个向量组等价 设有向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 若向量组B能由向量组A线性表示 即 线性表示的系数矩阵 设有向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 若向量组B能由向量组A线性表示 即对于b1 存在一组实数k11 k21 km1 使得b1 k11a1 k21a2 km1am 对于b2 存在一组实数k12 k22 km2 使得b2 k12a1 k22a2 km2am 对于bl 存在一组实数k1l k2l kml 使得bl k1la1 k2la2 kmlam 若Cm n Am lBl n 即 则 结论 矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 B为这一线性表示的系数矩阵 若Cm n Am lBl n 即 则 结论 矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 A为这一线性表示的系数矩阵 口诀 左行右列 定理 设A是一个m n矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 结论 若C AB 那么矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 A为这一线性表示的系数矩阵 A在左边 矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 B为这一线性表示的系数矩阵 B在右边 A经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl B存在m阶可逆矩阵P 使得AP B矩阵B的列向量组与矩阵A的列向量组等价 矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价 同理可得 口诀 左行右列 把P看成是线性表示的系数矩阵 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示存在矩阵K 使得AK B矩阵方程AX B有解R A R A B R B R A 推论 向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl等价的充分必要条件是R A R B R A B 证明 向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示从而有R A R B R A B 因为R B R A B R A R A B R B R A B 例 设证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式 解 向量b能由a1 a2 a3线性表示当且仅当R A R A b 因为R A R A b 2 所以向量b能由a1 a2 a3线性表示 行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b 3c 2 a1 2c 1 a2 ca3 n阶单位矩阵的列向量叫做n维单位坐标向量 设有n m矩阵A a1 a2 am 试证 n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是R A n 分析 n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示R A R A E R A n 注意到 R A E n一定成立 小结 向量b能由向量组A线性表示 线性方程组Ax b有解 向量组B能由向量组A线性表示 矩阵方程组AX B有解 向量组A与向量组B等价 知识结构图 n维向量 向量组 向量组与矩阵的对应 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价 判定定理及必要条件 判定定理