高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理.ppt

第七章不等式 7 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线以表示区域边界直线 当我们在坐标系中画不等式Ax By C 0所表示的平面区域时 此区域应边界直线 则把边界直线画成 平面区域 不包括 包括 实线 知识梳理 1 答案 2 由于对直线Ax By C 0同一侧的所有点 x y 把它的坐标 x y 代入Ax By C 所得的符号都 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点 由Ax0 By0 C的即可判断Ax By C 0表示的直线是Ax By C 0哪一侧的平面区域 相同 符号 答案 2 线性规划相关概念 一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 答案 3 重要结论 1 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界 特殊点定域 直线定界 不等式中无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 特殊点定域 若直线不过原点 特殊点常选原点 若直线过原点 则特殊点常选取 0 1 或 1 0 来验证 2 利用 同号上 异号下 判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax By C 0或Ax By C0时 区域为直线Ax By C 0的上方 当B Ax By C 0时 区域为直线Ax By C 0的下方 3 最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 有时唯一 有时有多个 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 不等式Ax By C 0表示的平面区域一定在直线Ax By C 0的上方 2 线性目标函数的最优解可能是不唯一的 3 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 4 不等式x2 y2 0表示的平面区域是一 三象限角的平分线和二 四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域 思考辨析 答案 1 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 解析两直线方程分别为x 2y 2 0与x y 1 0 由 0 0 点在直线x 2y 2 0右下方可知x 2y 2 0 又 0 0 点在直线x y 1 0左下方可知x y 1 0 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析用特殊点代入 比如 0 0 容易判断为 解析答案 1 2 3 4 5 解析因为直线x y 1与x y 1互相垂直 所以如图所示的可行域为直角三角形 易得A 0 1 B 1 0 C 2 3 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 解析答案 1 2 3 4 5 5 投资生产A产品时 每生产100吨需要资金200万元 需场地200平方米 投资生产B产品时 每生产100吨需要资金300万元 需场地100平方米 现某单位可使用资金1400万元 场地900平方米 则上述要求可用不等式组表示为 用x y分别表示生产A B产品的吨数 x和y的单位是百吨 解析答案 1 2 3 4 5 所以不难看出 x 0 y 0 200 x 300y 1400 200 x 100y 900 解析用表格列出各数据 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 命题点1不含参数的平面区域问题 例1 1 不等式 x 2y 1 x y 3 0在坐标平面内表示的区域 用阴影部分表示 应是下列图形中的 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域 解析答案 答案 解析由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分 解析答案 命题点2含参数的平面区域问题 解析答案 思维升华 解析不等式组表示的平面区域如图所示 思维升华 思维升华 1 求平面区域的面积 首先画出不等式组表示的平面区域 若不能直接画出 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题 从而再作出平面区域 对平面区域进行分析 若为三角形应确定底与高 若为规则的四边形 如平行四边形或梯形 可利用面积公式直接求解 若为不规则四边形 可分割成几个三角形分别求解再求和即可 2 利用几何意义求解的平面区域问题 也应作出平面图形 利用数形结合的方法去求解 解析直线y kx 1过定点M 0 1 由图可知 当直线y kx 1经过直线y x 1与直线x y 3的交点C 1 2 时 k最小 3 跟踪训练1 解析答案 解析由于x 1与x y 4 0不可能垂直 所以只有可能x y 4 0与kx y 0垂直或x 1与kx y 0垂直 当x y 4 0与kx y 0垂直时 k 1 检验知三角形区域面积为1 即符合要求 当x 1与kx y 0垂直时 k 0 检验不符合要求 1 解析答案 命题点1求线性目标函数的最值 题型二求目标函数的最值问题 解析答案 A 1 1 B 2 1 当直线y 2x z经过点A时 zmin 2 1 1 3 n 当直线y 2x z经过点B时 zmax 2 2 1 3 m 故m n 6 答案6 解析画出可行域 如图阴影部分所示 由z 2x y 得y 2x z 命题点2求非线性目标函数的最值 解析答案 z的取值范围是 2 如图中阴影部分所示 2 若z x2 y2 求z的最大值与最小值 并求z的取值范围 解z x2 y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此x2 y2的值最小为OA2 取不到 最大值为OB2 z的取值范围是 1 5 解析答案 z的取值范围是 0 解析答案 引申探究 2 若z x2 y2 2x 2y 3 求z的最大值 最小值 解z x2 y2 2x 2y 3 x 1 2 y 1 2 1 而 x 1 2 y 1 2表示点P 1 1 与Q x y 的距离的平方 PQ2 max 0 1 2 2 1 2 2 解析答案 命题点3求线性规划的参数 解析作出不等式组表示的可行域 如图 阴影部分 易知直线z 2x y过交点A时 z取最小值 解析答案 思维升华 思维升华 1 先准确作出可行域 再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 2 当目标函数是非线性的函数时 常利用目标函数的几何意义来解题 常见代数式的几何意义有 思维升华 3 当目标函数中含有参数时 要根据临界位置确定参数所满足条件 跟踪训练2 解析答案 在y x 1中 令x 0得y 1 即直线y x 1与y轴的交点为C 0 1 得t2 2t 3 0 解得t 1或t 3 不合题意 舍去 答案1 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 解析如图 由y ax z知z的几何意义是直线在y轴上的截距 故当a 0时 要使z y ax取得最大值的最优解不唯一 则a 2 当a 0时 要使z y ax取得最大值的最优解不唯一 则a 1 2或 1 解析答案 例6某客运公司用A B两种型号的车辆承担甲 乙两地间的长途客运业务 每车每天往返一次 A B两种车辆的载客量分别为36人和60人 从甲地去乙地的营运成本分别为1600元 辆和2400元 辆 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队 并要求B型车不多于A型车7辆 若每天运送人数不少于900 且使公司从甲地去乙地的营运成本最小 那么应配备A型车 B型车各多少辆 题型三线性规划的实际应用 解析答案 思维升华 解设A型 B型车辆分别为x y辆 相应营运成本为z元 则z 1600 x 2400y 由题意 得x y满足约束条件 作可行域如图所示 可行域的三个顶点坐标分别为P 5 12 Q 7 14 R 15 6 解析答案 思维升华 由图可知 当直线z 1600 x 2400y经过可行域的点P时 直线z 1600 x 2400y在y轴上的截距最小 即z取得最小值 故应配备A型车5辆 B型车12辆 可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小 思维升华 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 1 分析题意 设出未知量 2 列出线性约束条件和目标函数 3 作出可行域并利用数形结合求解 4 作答 2015 陕西改编 某企业生产甲 乙两种产品均需用A B两种原料 已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示 如果生产1吨甲 乙产品可获利润分别为3万元 4万元 则该企业每天可获得最大利润为 万元 跟踪训练3 解析答案 解析设每天甲 乙的产量分别为x吨 y吨 目标函数z 3x 4y 线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示 解析答案 可得目标函数在点A处取到最大值 则zmax 3 2 4 3 18 万元 答案18 返回 易错警示系列 易错分析题目给出的区域边界 两静一动 可先画出已知边界表示的区域 分析动直线的位置时容易出错 没有抓住直线x y m和直线y x平行这个特点 另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点 易错警示系列 8 含参数的线性规划问题的易错点 温馨提醒 解析答案 返回 易错分析 解析显然 当m 2时 不等式组表示的平面区域是空集 当m 2时 不等式组表示的平面区域只包含一个点A 1 1 此时zmin 1 1 0 1 显然都不符合题意 所表示的平面区域如图所示 温馨提醒 解析答案 平面区域为一个三角形区域 由图可知 当直线y x z经过点C时 z取得最小值 答案5 温馨提醒 温馨提醒 1 当约束条件含有参数时 要注意根据题目条件 画出符合条件的可行域 本题因含有变化的参数 可能导致可行域画不出来 2 应注意直线y x z经过的特殊点 返回 思想方法感悟提高 1 平面区域的画法 线定界 点定域 注意实虚线 方法与技巧 3 解线性规划应用题 可先找出各变量之间的关系 最好列成表格 然后用字母表示变量 列出线性约束条件 写出要研究的函数 转化成线性规划问题 4 利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题 方法与技巧 1 画出平面区域 避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 直线2x y 10 0恰过点A 5 0 即直线2x y 10 0与平面区域仅有一个公共点A 5 0 答案1 解析由不等式组画出平面区域如图 阴影部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析画出约束条件的可行域如图阴影 作直线l x 6y 0 平移直线l可知 直线l过点A时 目标函数z x 6y取得最大值 易得A 0 3 所以zmax 0 6 3 18 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 答案3 解析由线性约束条件画出可行域 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克 B原料2千克 生产乙产品1桶需耗A原料2千克 B原料1千克 每桶甲产品的利润是300元 每桶乙产品的利润是400元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗A B原料都不超过12千克 通过合理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是 元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析设每天生产甲种产品x桶 乙种产品y桶 设获利z元 则z 300 x 400y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 画出可行域如图 画直线l 300 x 400y 0 即3x 4y 0 平移直线l 从图中可知 当直线过点M时 目标函数取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 即M的坐标为 4 4 zmax 300 4 400 4 2800 元 答案2800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 由图可知 当m 1时 函数y 2x的图象上存在点 x y 满足约束条件 故m的最大值为1 答案1 所表示的平面区域 如图阴影部分所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 答案1 解析作出不等式组对应的平面区域如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析画出不等式组所表示的区域 如图中阴影部分所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 铁矿石A和B的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表 某冶炼厂至少要生产1 9 万吨 铁 若要求CO2的排放量不超过2 万吨 则购买铁矿石的最少费用为 百万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析设购买铁矿石A B分别为x万吨 y万吨 购买铁矿石的费用为z 百万元 目标函数z 3x 6y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 画出可行域可知 当目标函数z 3x 6y过点P 1 2 时 z取到最小值15 答案15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 当目标函数过点 4 6 时z取最大值 4a 6b 10 a2 b2的几何意义是直线4a 6b 10上任意一点到点 0 0 的距离的平方 那么其最小值是点 0 0 到直线4a 6b 10距离的平方 解析因为a 0 b 0 所以由可行域得 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析作出可行域 如图所示 则目标函数z x 2y在点 1 0 处取得最大值1 在点 1 1 处取得最小值 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 a 1 b 3 从而可知方程x2 kx 1 0在区间 3 1 上有两个不同实数解 令f x x2 kx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 其中P B分别为点P A在直线2x y 0上的投影 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 表示的两块平面区域 而平面点集B表示的平面区域为以点 1 1 为圆心 以1为半径的圆及圆的内部 作出它们表示的平面区域如图所示 图中的阴影部分就是A B所表示的平面图形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 圆C与x轴相切 b 1 显然当圆心C位于直线y 1与x y 7 0的交点 6 1 处时 amax 6 a2 b2的最大值为62 12 37 答案37 解析由已知得平面区域 为 MNP内部及边界 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 可行域如图中阴影部分所示 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2015 浙江 若实数x y满足x2 y2 1 则 2x y 2 6 x 3y 的最小值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析满足x2 y2 1的实数x y表示的点 x y 构成的区域是单位圆及其内部 f x y 2x y 2 6 x 3y 2x y 2 6 x 3y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 所以 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 答案3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回