《线性代数》PPT课件.ppt

1 线性代数 LinearAlgebra 第二章行列式 2 第二章行列式 行列式 Determinant 是线性代数中的一个最基本 最常用的工具 最早出现于求解线性方程组 它被广泛地应用于数学 物理 力学以及工程技术等领域 3 第二章行列式 设二元线性方程组 用消元法知 当时 1 方程组 1 有解 且 把由四个数排成两行两列 并定义为数的式子 叫做二阶行列式 行列式是一个数 数称为行列式的元素 元素第一个下标称为行标 表明该元素位于第i行 第二个下标称为列标 表明该元素位于第j列 主对角线 1n阶行列式 一 二阶与三阶行列式 4 1n阶行列式 由二阶行列式的定义 得 称为方程组 1 的系数行列式 Example2 便于表示 记忆和推广 求解二元线性方程组 由于 Solution 5 第二章行列式 类似地 定义三阶行列式 计算 定义 规则称为对角线规则 或沙流氏规则 Example3 计算三阶行列式 5 12 2 5 8 3 11 Solution 6 1n阶行列式 二 n阶行列式 用递归的方法来定义n阶行列式 由n2个元素aij i j 1 2 n 排成n行n列 称为n阶行列式 数 行数与列数相等 特点 7 第二章行列式 M11 M12 M13 Definition1 在n阶行列式D中 将aij所在的第i行第j列划去后 余下的元素按原相对位置构成的一个n 1阶行列式 称为aij的余子式 记作Mij 称Aij 1 i jMij 称为元素aij的代数余子式 8 1n阶行列式 Definition2 当n 1时 定义一阶行列式 若定义了n 1 n 2 阶行列式 则定义n阶行列式为 Dn a11A11 a12A12 a1nA1n 也称 3 为n阶行列式关于第一行的展开式 数aij称为行列式Dn的第i行第j列元素 Note 当n 4时 对角线法则不再适用Dn的计算 如4阶行列式 按对角线法共有8项代数和 4 24项 但按定义 共有 n阶行列式 在 2 式中 a11 a22 ann所在的对角线称为行列式的主对角线 9 第二章行列式 Example4 证明n阶下三角行列式 当i j时 aij 0 即主对角线以上元素全为零 Proof 对n作数学归纳法 n 2时 结论显然成立 假设结论对n 1阶下三角行列式成立 则由定义得 右端行列式是n 1阶下三角行列式 根据归纳假设得 Dn a11a22 ann 特别地 主对角行列式 10 1n阶行列式 Example5 证明n阶行列式 Proof 对n作数学归纳法 n 2时 结论显然成立 假设结论对n 1阶行列式成立 则由定义得 根据归纳假设得 特别地 11 第二章行列式 2行列式性质与展开定理 行列式的计算是一个重要问题 也是一个很麻烦的问题 n阶行列式共有n 项 计算它需要n n 1 次乘法 直接用定义计算行列式几乎是不可能的 因此 有必要进一步讨论行列式的性质 利用这些性质简化行列式的计算 12 2行列式性质与展开定理 一 行列式按行 或列 展开定理 一般说来 低阶行列式的计算比高阶行列式的计算更简便 所以 是否可用低阶行列式表示高阶行列式 行列式定义已表示n阶行列式可按第一行展开 13 第二章行列式 此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开 14 2行列式性质与展开定理 此式说明三阶行列式也可以关于第二行展开 Theorem1 行列式等于它的某一行 或列 的元素与其对应的代数与子式的乘积之和 即 或 可用数学归纳法证明之 15 第二章行列式 利用Th 1可降低行列式的阶数 便于计算 Example6 计算 Solution 按第一列展开 12 16 2行列式性质与展开定理 二 行列式的性质 记 6 7 称行列式DT为行列式D的转置 Transposition 行列式 Definition3 将D中的行与列互换 也记D Property1 行列式与它的转置行列式相等 Proof 由Pro 1可知 在行列式中 行与列具有相等的地位 因而 行列式对其行具有的性质 对列也成立 17 第二章行列式 Property1的证明 Proof 对行列式的阶数用数学归纳法 阶数为2 结论显然成立 假设阶数为n 1时 结论成立 当阶数为n时 Dn a11A11 a12A12 a1nA1n 按定义 按第一行展开 得 由归纳假设 按Th 1 上式右端是按第一列展开式 即 因此 18 2行列式性质与展开定理 Example7 Solution 计算上三角行列式 i j时 aij 0 利用Pro 1和Ex 4得 a11a22 ann Property2 互换行列式的两行 列 行列式值变号 19 第二章行列式 Property2的证明 Proof 对行列式的阶数用数学归纳法 阶数为2 结论显然成立 假设阶数为n 1时 结论成立 当阶数为n时 设 交换第i行与第j行为 其中bi1 aj1 bj1 ai1 bk1 ak1 k 1 2 n k i j 20 2行列式性质与展开定理 对D 按第一列展开 得 其中Bk1为D 的元素bk1的代数余子式 对k 1 2 n k i j 由归纳假设 Bk1 Ak1 Bi1 1 i 1 1 j i 1Mj1 由归纳假设 1 j 1Mj1 Aj1 同理可得 Bj1 Ai1 D b11B11 bi1Bi1 bj1Bj1 bn1Bn1 a11 A11 aj1 Aj1 ai1 Ai1 an1 An1 a11A11 ai1Ai1 aj1Aj1 an1An1 D 21 第二章行列式 Corollary1 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 只需把这相同的两行 列 互换 得 Corollary2 行列式某行 列 的元素乘另一行 列 对应元素的代数余子式之和等于零 即 0k i 0k j 22 2行列式性质与展开定理 Property3 用数k乘以行列式 相当于用数k乘以行列式的某一行 列 的所有元素 即 第i行 列 乘以k 记作 Corollary1 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子 可以提到行列式符号外面 23 第二章行列式 Corollary2 如果行列式中一行 列 为零 则该行列式为零 取k 0 Corollary3 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 由Pro 3Co 1及Pro 2Co 1 Property4 由Th 1 按该行 列 展开可得 该行每个元素为两个元素之和 24 2行列式性质与展开定理 Property5 把行列式的某一行 列 的各元素乘以数k 然后加到另一行 列 对应的元素上去 行列式不变 即 以数k乘第j行加到第i行 记作 由Pro 4 Pro 3Co 3即得 注意表示 25 第二章行列式 Example8 计算 Solution 化行列式为上 下 三角行列式是一重要方法 45 改为6 如何 4阶及以上行列式不能用对角线法 26 2行列式性质与展开定理 Example9 计算 Solution 方法一 D4 a 3b a b 3 方法二 D4 a 3b a b 3 方法一 方法二对n阶也很适用 27 第二章行列式 方法三 将a b a b 则 利用Pro 5进行拆项 几项 应有16项 但包含两个或两个以上第一个子列 则为零 28 2行列式性质与展开定理 Example10 试证 Proof 分析特点 列之和相等 实质是计算 确定方法 左边 右边 29 第二章行列式 Example11 n阶行列式 满足aij ajii j 1 n 证明 当n为奇数时 D 0 Proof 由条件可知 aii aiii 1 n得aii 0 D 1 nD 因为n为奇数 D D 所以D 0 30 2行列式性质与展开定理 Example12 计算 Solution 方法一 将各列加到第一列 得 方法二 31 第二章行列式 Example13 计算 Solution 方法一 每行减去第一行 得 方法二 32 2行列式性质与展开定理 Example14 计算 Solution 方法一从第二行起 前行乘以x加到后一行 得 33 第二章行列式 按最后一行展开 得 Dn xDn 1 an 1 Dn 1 xDn 2 an 2 方法二 递推法 D2 xa0 a1 Dn xDn 1 an 1 x2Dn 2 an 2x an 1 所以 x3Dn 3 an 3x2 an 2x an 1 xn 2D2 a2xn 1 an 3x2 an 2x an 1 Dn 2 xDn 3 an 3 a0 xn 1 a1xn 2 an 2x an 1 34 2行列式性质与展开定理 Example15 设 证明 D D1D2 35 第二章行列式 Example16 证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 Proof 用数学归纳法 当n 2 结论成立 假设对于n 1阶V 行列式 结论成立 对于n阶V 行列式 从第n行开始 后行减去前行的x1倍 36 Dn 上式右端行列式是n 1阶V 行列式 由归纳假设 得 2行列式性质与展开定理 37 第二章行列式 Example17 计算 Solution D4为4阶V 行列式 其中 故 38 3克莱姆 Cramer 法则 首次讨论线性方程组的求解问题 利用行列式得出一类特殊方程的求解公式 克莱姆法则 如果线性方程组 1 其系数行列式 则方程组 1 有唯一解 简记为 其中Dj是用常数项 自由项 b1 b2 bn替换D中第j列所成的行列式 第二章行列式 39 3克莱姆 Cramer 法则 Proof 是解 唯一性 所以 2 是 1 的解 设是方程组 1 的一个解 代入方程得 用D中第j列元素的代数余子式依次乘方程组 3 的n个方程 再相加 得 左边 右边 Dj 由Th 1 2可知Dcj Dj 40 Example18 解方程组 Solution 该位置展开一定带正号 D1 2 D2 4 D3 0 D4 1 所以 x1 1 x2 2 x3 0 x4 1 2 第二章行列式 41 3克莱姆 Cramer 法则 克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系 在方程理论上很有价值 但用它来求解是很不方便的 因为 它求解一个n个未知量 n个方程的线性方程组 需计算n 1个n阶行列式 计算量很大 Definition1 8 在方程组 1 中 如果自由项b1 b2 bn不全为零 则称 1 为非齐次线性方程组 否则 称为齐次线性方程组 Corollary1 零一定是它的解 更关心的是非零解 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则方程组只有零解 Corollary2 如果齐次线性方程组 有非零解的必要条件是D 0 第三章将证明这也是充分的 42 Example19 设方程组 问a b c满足什么条件 方程组有非零解 Solution 由D 0 a b c至少有两个相等 不难验证 当a b c中至少有两个相等 方程组有非零解 第二章行列式 43 小 结 行列式计算 证明的常用方法 定义 性质 降 升 阶 递推 V 行列式 数学归纳法 44 第二章行列式 完