《线性代数§》PPT课件.ppt

6 2化二次型为标准形 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 例如 都为二次型 为二次型的标准形 对于二次型 我们讨论的基本问题是 寻求可逆的线性变换x Cy 将二次型化为标准形 或 对于实对称矩阵A 寻求可逆阵C 使得 为对角阵 设 说明 如何找矩阵C 一 正交变换法 已知结论 对任意实对称矩阵A 一定存在正交矩阵Q 使得 其中 为矩阵A的n个特征值 因为Q为正交阵 所以 于是 由此得到 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 例1 将二次型 通过正交变换x Py化成标准形 f 17x12 14x22 14x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 解 1 写出对应的二次型矩阵 2 求A的特征值 18 2 9 从而得A的特征值 1 9 2 3 18 3 求特征向量 将 1 9代入 A E x 0得基础解系 1 1 2 2 T 将 2 3 18代入 A E x 0得基础解系 2 2 1 0 T 3 2 0 1 T 将特征向量正交化 得正交向量组 取 1 1 2 2 1 1 2 1 1 T 2 2 1 0 T 2 2 5 4 5 1 T 将正交向量组单位化 令 得 4 作正交变换 令 于是所求正交变换为 且有 f 9y12 18y22 18y32 1 几何意义 在自然基坐标系下的二次曲面 说明 17x12 14x22 14x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 1 在另一直角坐标系 下的方程为 9y12 18y22 18y32 1 它表示一个椭球面 其主轴与新坐标系的坐标轴重合 主轴长度分别为 为A的特征值 而变换的矩阵正是由基到基的过渡矩阵 2 一般 的符号决定二次曲面的类型 三正 椭球面 两正一负 单页双曲面 一正两负 双页双曲面 二正一0 椭圆柱面一正一负一0 双曲柱面 3 二次型的标准形不是唯一的 4 正交变换的优点 保持几何形状不变 保持度量 5 利用正交变换法时 一定有 为A的特征值 一般地 不一定是A的 特征值 C中的列向量也不一定是A的特征向量 f 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4 例2 求一个正交变换x Py 把二次型 化为标准形 解 二次型的矩阵为 A的特征多项式为 计算特征多项式 把二 三 四列都加到第一列上 有 把二 三 四行分别减去第一行 有 从而得A的特征值 1 3 2 3 4 1 当 1 3时 解方程组 A 3E x 0 得基础解系 单位化即得 当 2 3 4 1时 解方程组 A E x 0 可得正交的基础解系 单位化即得 于是正交变换为 且有 f 3y12 y22 y32 y42 解 二次型的矩阵为 求得特征多项式为 A E 4 9 于是A的特征值为 1 9 2 4 3 0 对应特征向量为 例3 化为标准形 并指出f x y z 36表示何种二次曲面 求一正交变换 将二次型 f x y z 5x2 5y2 3z2 2xy 6xz 6yz 正交变换为 化二次型为 f 9u2 4v2 可知f x y z 36为椭圆柱面方程 将其单位化得 在o xyz坐标系中的图形 在o uvw坐标系中的图形 例4已知二次型经过正交变换化为标准形求的值和正交矩阵 解 二次型和标准形的矩阵分别为 由题设条件又 故与相似 从而A有特征值 所以有 又 故 由解方程组得特征向量 由解方程组得特征向量 由解方程组得特征向量 单位化得 正交矩阵为 1 实二次型的化简问题 在理论和实际中经常遇到 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵 而这是已经解决了的问题 请注意这种研究问题的思想方法 2 实二次型的化简 并不局限于使用正交矩阵 根据二次型本身的特点 可以找到某种运算更快的可逆变换 下一节 我们将介绍另一种方法 拉格朗日配方法 二 拉格朗日配方法 用正交变换化二次型为标准形 其特点是保持几何形状不变 问题 有没有其它方法 也可以把二次型化为标准形 问题的回答是肯定的 下面首先介绍 拉格朗日配方法 1 若二次型含有xi的平方项 则先把含有xi的乘积项集中 然后配方 再对其余的变量同样进行 直到都配成平方项为止 经过非退化线性变换 就得到标准形 拉格朗日配方法的步骤 2 若二次型中不含有平方项 但是aij 0 i j 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型 然后再按1中方法配方 k i j 例5 化二次型 为标准形 并求所用的线性变换矩阵 f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3 f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3 解 用含有x1的项配方 x12 2x1x2 2x1x3 2x22 5x32 6x2x3 x1 x2 x3 2 x22 x32 2x2x3 2x22 5x32 6x2x3 x1 x2 x3 2 x22 4x32 4x2x3 x1 x2 x3 2 x2 2x3 2 令 所用变换矩阵为 f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3 y12 y22 解 由于所给二次型中无平方项 f 2x1x2 2x1x3 6x2x3 例6 化二次型 为标准形 并求所用的线性变换矩阵 所以 令 即 代入二次型f 2x1x2 2x1x3 6x2x3 得 f 2y12 2y22 4y1y3 8y2y3 再配方 得 f 2 y1 y3 2 2 y2 2y3 2 6y32 令 即 f 2z12 2z22 6z32 得 所用变换矩阵为 C 2 0 用配方法时要注意所用的变换是否为可逆变换 按上述标准程序配方时一定是可逆变换 三 初等变换法 定理 对任一个n阶实对称矩阵A 都存在可逆阵C 使得 即 任一n阶实对称矩阵A 都可以通过一系列同类型 的初等行 列变换化为对角阵 1 同类型的初等行列变换 当C可逆时 一定存在一列初等矩阵 使得 于是 且 注意到 所以 表示对A进行同类型的 初等行 列变换 2 可将对称矩阵A化为对角阵 用数学归纳法证明 证明 对A的阶数n用数学归纳法 当n 1时 显然成立 假设结论对n 1阶对称矩阵成立 那么 对于 1 若 先做 可将第二行的 变为0 再做 可将第二列的 变为0 继续做下去 可将第一行和第一列的其余元素变为0 得到的矩阵 其中 为n 1阶对称矩阵 2 若 则先将第一行和第i行交换 再将第一列和第i行交换 则 为第一行第一列的 元素 从而化为情形 1 3 若主对角元均为0 则先做 为第一行第一列的元素 也可化为情形 1 再做 则 由归纳假设可知结论成立 由 可知方法如下 同类型的初等 行 列变换 或 同类型的初等 行 列变换 一般采用第二种方法 例7 将二次型 化成标准形 并求变换矩阵C 解 二次型f的矩阵为 方法一 故 且为坐标变换 于是 方法二 于是做坐标变换 其中 则将二次型化为标准形 又 故 例8 已知二次型 的秩为2 1 求参数c及二次型所对应的矩阵的特征值 2 判定f 1表示什么曲面 解 二次型所对应的矩阵为 由题设知 所以 A 0 即 所以c 3 A的特征方程为 故A的特征值为 二次型可通过正交变换化为 所以f 1表示椭圆柱面 例9 已知实二次型 求 在单位球面 上的最值 解 二次型的矩阵为 故A的特征值为 于是可通过正交变换可将二次型化为标准形 注意到正交变换不改变向量的长度 所以 于是二次型 在单位球面 上的最值就是二次型 在单位球面 上的最值 因为 即所求最大值为4 最小值为1 将一个二次型化为标准形 可以用正交变换法 也可以用配方法 或者初等变换法 这取决于问题的要求 如果要求找出一个正交矩阵 或条件与度量有关 应使用正交变换法 如果只需要找出一个可逆的线性变换 那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤 可以按部就班一步一步地求解 但计算量通常较大 需要注意的是 使用不同的方法 所得到的标准形可能不相同 但标准形中含有的正平方项的项数和负平方项的项数必定相同 项数等于所给二次型的秩 五 小结 1 实二次型的化简问题 在理论和实际中经常遇到 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵 而这是已经解决了的问题 请同学们注意这种研究问题的思想方法 2 实二次型的化简 并不局限于使用正交矩阵 根据二次型本身的特点 可以找到某种运算更快的可逆变换 下一节 我们将介绍另一种方法 拉格朗日配方法 思考题 思考题解答 思考题 思考题解答 思考题 思考题解答