内积与标准正交基.ppt

定义12 一 内积的定义及性质 说明 1维向量的内积是3维向量数量积的推广 但是没有3维向量直观的几何意义 内积的运算性质 定义2 令 向量的长度具有下述性质 二 向量的长度及性质 解 正交的概念 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 三 正交向量组的概念及求法 证明 正交向量组的性质 例1已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使构成三维空间的一个正交基 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知构成三维空间的一个正交基 解 规范正交基 例如 同理可知 证明 定义4 定理 四 正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交 性质正交变换保持向量的长度不变 证明 例 判别下列矩阵是否为正交阵 定义5若为正交阵 则线性变换称为正交变换 解 所以它不是正交矩阵 考察矩阵的第一列和第二列 由于 所以它是正交矩阵 由于 例 解 1 正交化 取 求规范正交基的方法 2 单位化 取 解先正交化 取 施密特正交化过程 再单位化 得规范正交向量组如下 例 解 再把它们单位化 取 几何解释 例 解 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 1 将一组基规范正交化的方法 先用施密特正交化方法将基正交化 然后再将其单位化 五 小结 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 求一单位向量 使它与 正交 思考题 思考题解答