2012高考总复习导数的应用.ppt

第十五讲导数的应用 回归课本 1 函数的单调性与导数在区间 a b 内 函数的单调性与其导数的正负关系 1 如果f x 0 那么y f x 在这个区间内单调递增 2 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 3 如果f x 0 那么f x 在这个区间内为常数 2 函数的极值与导数 1 函数极值的定义若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 且f a 0 而且在x a附近的左侧f x 0 则a点叫函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 且f b 0 而且在x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则b点叫函数的极大值点 f b 叫函数的极大值 极大值和极小值统称为极值 2 求函数极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 如果在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 如果f x 在点x0的左 右两侧符号不变 则f x0 不是函数极值 3 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 解决优化问题的基本思路 考点陪练 1 已知函数f x x3 ax2 3x 9 且在x 3时取得极值 则a的值为 A 2B 3C 4D 5解析 由题意得f x 3x2 2ax 3 又f x 在x 3时取得极值 所以f 3 30 6a 0 解得a 5 故选D 答案 D 2 2010 重庆统考 已知函数f x x3 3x 则函数f x 在区间 2 2 上的最大值是 A 0B 1C 2D 3解析 f x 3x2 3 当x 2 1 或 1 2 时 f x 0 f x 单调递增 当x 1 1 时 f x 0 f x 单调递减 故极大值为f 1 2 极小值为f 1 2 又因为f 2 2 f 2 2 f x 在 2 2 上的最大值为2 答案 C 3 f x 是定义在 上的可导的奇函数 且满足xf x 0 f 1 0 则不等式f x 0的解为 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 D 1 0 0 解析 由xf x 0时 f x 0时 由f x 1 又因为函数为奇函数 故当xx 1 故选B 答案 B 答案 C 5 已知函数f x 的导函数的图象如图所示 则下列说法正确的有 函数f x 在区间 3 1 内单调递减 函数f x 在区间 1 7 内单调递减 当x 3时 函数f x 有极大值 当x 7时 f x 有极小值 解析 由图象可得 在区间 3 1 内f x 的导函数值大于零 所以f x 单调递增 在区间 1 7 内f x 的导函数值小于零 所以f x 单调递减 在x 3左右的导函数符号不变 所以x 3不是函数的极大值点 在x 7左右的导函数符号由负到正 所以函数f x 在x 7处有极小值 故填 答案 类型一函数的单调性解题准备 求函数单调区间的基本步骤是 确定函数f x 的定义域 求导数f x 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应的区间上是单调递增函数 当f x 0时 f x 在相应的区间上是单调递减函数 典例1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 分析 第 1 问由f x 在R上是增函数知f x 0在R上恒成立 进而转化为最值问题 2 作法同第 1 问 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3x2 a在x 1 1 上恒有f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 反思感悟 容易把f x 0 f x 0 看成是f x 为增函数 减函数 的充要条件 从而求错参数的范围 类型二函数的极值解题准备 运用导数求可导函数y f x 极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 典例2 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 分析 第 1 问应用f x 0 f x 单调递增 f x 0 f x 单调递减 第 2 问转化为f x 极小值 m f x 极大值 2 f x 在x 1处取得极值 f 1 3 1 2 3a 0 a 1 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0 解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的单调性可知 m的取值范围是 3 1 反思感悟 此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题 但实质仍然是研究函数的单调性和极值问题 导数法求单调区间的主要步骤是 求导 解不等式 求极值的一般方法是 求导 求根 讨论根左右导数的符号 确定极值并求值 类型三函数的最值解题准备 1 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断使f x 0成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 典例3 2010 重庆 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 类型四生活中的优化问题解题准备 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 典例4 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所以桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 分析 对 1 先设辅助未知数 再确定函数关系 对 2 先利用导数求出最优解 反思感悟 本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中 可以说是一个很好的设计 不仅考查了考生对函数 导数等相关知识的掌握程度 还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力 该题常见的错误有 不能正确理解各个量之间的正确关系 导致函数关系出错 求错导函数 解应用题没有总结 解答不完整 错源一混淆导函数与原函数的图象 典例1 已知函数f x ax3 bx2 cx在点x0处取得极小值5 其导函数的图象经过 1 0 2 0 如图所示 求 1 x0的值 2 a b c的值 剖析 原题中的图象是导函数的图象 并非是原函数的图象 错解中混淆导函数与原函数的图象 因而产生错误 正解 由于f x 3ax2 2bx c 1 观察图象 我们可发现当x 1 时 f x 0 此时f x 为增函数 当x 1 2 时 f x 0 此时f x 为增函数 因此在x 2处函数取得极小值 结合已知 可得x0 2 错源二误认为导数为零的点就是极值点 典例2 求函数f x x4 x3的极值 并说明是极小值还是极大值 剖析 错解中的错误有两点 认为导数为零的点就是极值点 其实 并非如此 导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件 极大值大于极小值 这也是不准确的 极值仅描述函数在该点附近的情况 技法一解决与不等式有关的问题 典例1 当x 0时 证明不等式ln 1 x x x2成立 解题切入点 欲证x 0时 ln 1 x x x2 可以证F x ln 1 x x x2 0 易知F 0 0 因此可以考虑F x 在 0 上是增函数 证明 设f x ln 1 x g x x x2 F x f x g x F x f x g x 当x 0时 F x 0 所以F x 在 0 上是增函数 故当x 0时 F x F 0 0 方法与技巧 运用导数证明不等式是一类常见题型 主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数 利用导数判定函数的单调性进而求解 技法二解决与函数周期有关的问题 典例2 设f0 x sinx f1 x f 0 x f2 x f 1 x fn 1 x f n x n N 则f2005 x 等于 A sinxB sinxC cosxD cosx 解析 f0 x sinx f1 x f 0 x cosx f2 x f 1 x sinx f3 x f 2 x cosx f4 x f 3 x sinx 所以fn x 的周期为4 所以f2005 x f4 501 1 f1 x cosx 故选C 答案 C 方法与技巧 本题是一个关于三角函数的求导问题 这里要利用函数的周期性 刚开始求解不一定能看出周期性 这需要借助我们平时的做题经验 由此可见 在平时的学习中要善于总结 技法三解决与方程有关的问题 典例3 方程x3 3x a 0 a为常数 在区间 0 1 上 A 无实根B 有唯一实根C 至多有一个实根D 有两个实根 解析 设f x x3 3x a 则f x 3x2 3在 0 1 上恒为负 所以f x 在 0 1 上单调递减 故选C 答案 C