解析几何解答题的解法.ppt

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专题八解析几何解答题的解法第二部分考题剖析试题特点 03 16 解析几何解答题的解法应试策略 07 1 近三年高考各试卷解析几何考查情况统计2008年高考各地的16套试卷中每套试卷均有1道解析几何解答题试题涉及椭圆的有9道涉及双曲线的有2道涉及抛物线的有3道涉及直线与圆的有3道涉及线性规划的有1道其中求最值的有4道求参数的取值范围的有4道求轨迹方程的有5道和向量综合的有7道探索性的问题有5道 2009年高考各地的18套试卷里每套都有1道解答试题涉及椭圆的有9道抛物线的有4道双曲线的有5道其中求动点的轨迹求参数的取值范围是热门话题重庆的解析几何数列不等式证明相结合的试题比较独特试题特点返回目录解析几何解答题的解法 2010年高考各地的19套试卷中每套都有1道解答题椭圆的有10道双曲线的有2道抛物线的5道直线与圆的有2道涉及到圆锥曲线中的最值问题轨迹问题中点弦问题存在性问题的探讨以及定点定值问题的探讨等解析几何解答试题热点的题型是求参数范围或求最值的综合性问题探求动点的轨迹问题有关定值定点等的证明问题与向量综合的探索性问题等试题特点返回目录解析几何解答题的解法 2 主要特点解析几何虽然内容庞杂但基本问题却只有几个如求直线与圆锥曲线的方程求动点的轨迹或轨迹方程求特定对象的值求变量的取值范围或最值不等关系的判定与证明圆锥曲线有关性质的探求与证明等对各类问题学生应从理论上掌握几种基本方法使之在实际应用中有法可依克服解题的盲目性如求变量的取值范围可指导学生掌握三种方法几何法数形结合函数法和不等式法返回目录试题特点解析几何解答题的解法从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点能帮助学生易于找到解题切入点优化解题过程常用的解题策略有建立适当的平面直角坐标系设而不求变式消元利用韦达定理沟通坐标与参数的关系发掘平面几何性质简化代数运算用函数与方程思想沟通等与不等的关系注意对特殊情形的检验和补充充分利用向量的工具作用注意运算的可行性分析等等运算是解析几何的瓶颈它严重制约考生得分的高低甚至形成心理障碍教学中要指导学生注重算理算法细化运算过程转化相关条件回避非必求量注意整体代换等运算技能从能力的角度提高对运算的认识反思运算失误的经验教训不断提高运算水平返回目录试题特点解析几何解答题的解法应试策略返回目录 1 突出解析几何的基本思想解析几何的实质是用代数方法研究几何问题通过曲线的方程研究曲线的性质因此要掌握求曲线方程的思路和方法它是解析几何的核心之一求曲线的方程的常用方法有两类一类是曲线形状明确方程形式已知如直线圆圆锥曲线的标准方程等常用待定系数法求方程另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示一般采用以下方法返回目录应试策略解析几何解答题的解法 1 直译法将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式 2 代入法所求动点与已知动点有着相互关系可用所求动点坐标 x y 表示出已知动点的坐标然后代入已知的曲线方程 3 参数法通过一个或多个中间变量的引入使所求点的坐标之间的关系更容易确立消去参数得坐标的直接关系便是普通方程 4 交轨法动点是两条动曲线的交点构成的由x y满足的两个动曲线方程中消去参数可得所求方程故交轨法也属参数法返回目录应试策略解析几何解答题的解法 2 熟练掌握直线圆及圆锥曲线的基本知识 1 直线和圆直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向需要注意的是倾斜角的范围是 0 所有的直线必有倾斜角但未必有斜率直线方程的四种特殊形式每一种形式都有各自成立的条件应在不同的题设条件下灵活使用如截距式不能表示平行于x轴 y轴以及过原点的直线在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况讨论点与圆直线与圆圆与圆的位置关系时一般可从代数特征方程组解的个数或几何特征点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系去考虑其中几何特征较为简捷实用返回目录应试策略解析几何解答题的解法 2 椭圆完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用椭圆是平面内到两定点F1 F2的距离之和等于常数2a 2a F1F2 的动点的轨迹还有另一种定义圆锥曲线的统一定义平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e 0 e 1 的动点轨迹为椭圆顺便指出 e 1 e 1时的轨迹分别为双曲线和抛物线返回目录应试策略解析几何解答题的解法椭圆的标准方程有两种形式决定于焦点所在的坐标轴焦点是F c 0 时标准方程为 1 a b 0 焦点是F 0 c 时标准方程为 1 a b 0 这里隐含a2 b2 c2 此关系体现在 OFB B为短轴端点中深刻理解a b c e 的本质含义及相互关系实际上就掌握了几何性质返回目录应试策略解析几何解答题的解法 3 双曲线类比椭圆双曲线也有两种定义两种标准方程形式同样要重视定义在解题中的运用要深刻理解几何量a b c e 的本质含义及其相互间的关系双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道风景线其实它是矩形的两条对角线所在的直线参照课本双曲线 1 a 0 b 0 隐含了一个附加公式c2 a2 b2 此关系体现在 OAB A B分别为实轴虚轴的一个端点中特别地当a b时的双曲线称为等轴边双曲线其离心率为返回目录应试策略解析几何解答题的解法 4 抛物线抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹 Fl 定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等并在解题中有突出的运用抛物线方程标准有四种形式 y2 2px和x2 2py p 0 选择时必须判定开口与对称轴掌握几何性质注意分清2p p 的几何意义返回目录应试策略解析几何解答题的解法 3 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法 1 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系可将直线l的方程代入曲线C的方程消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x的一元方程ax2 bx c 0 然后利用法 2 有关弦长问题应用弦长公式及韦达定理设而不求有关焦点弦长问题要重视圆锥曲线的定义的运用以简化运算 3 有关弦的中点问题除了利用韦达定理外要注意灵活运用点差法设而不求简化运算 4 有关垂直关系问题应注意运用斜率关系或向量方法及韦达定理设而不求整体处理 5 有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中若A A 是对称点则应抓住AA 的中点在l上及kAA kl 1这两个关键条件解决问题 6 有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题一般采用假设反证法或假设验证法来解决返回目录应试策略解析几何解答题的解法考题剖析返回目录考题剖析返回目录无论m为任何实数直线l y x m与双曲线C 1 b 0 恒有公共点求双曲线C的离心率e的取值范围若直线l过双曲线C的右焦点F 与双曲线交于P Q两点并且满足求双曲线C的方程解析联立得b2x2 2 x m 2 2b2 0 b2 2 x2 4mx 2 m2 b2 0当b2 2 m 0时直线与双曲线无交点矛盾 b2 2 e 直线与双曲线恒有交点 16m2 8 b2 2 m2 b2 0恒成立 b2 2 m2 m R 解析几何解答题的解法考题剖析 F c 0 则直线l的方程y x c 设P x1 y1 Q x2 y2 联立得 b2 2 y2 2cb2y b2c2 2b2 0 y1 y2整理得返回目录解析几何解答题的解法 b2 0且c2 2 b2 b2 7所求的双曲线方程为考题剖析返回目录点评由于直线与双曲线恒有公共点可以列出关于字母b的一个不等式判别式从而可以求出双曲线离心率的取值范围解决第二问的关键是用好这个条件解析几何解答题的解法考题剖析返回目录 2在直角坐标平面中 ABC的两个顶点为A 0 1 B 0 1 平面内两点G M同时满足 0 1 求顶点C的轨迹E的方程 2 设P Q R N都在曲线E上定点F的坐标为 0 已知 0 求四边形PRQN面积S的最大值和最小值解析几何解答题的解法考题剖析返回目录解析 1 设C x y 由知 G为 ABC的重心由知M是 ABC的外心 M在x轴上由知M 0 由即得化简整理得 y2 1 x 0 解析几何解答题的解法考题剖析返回目录 2 F 0 恰为 y2 1的右焦点设PQ的斜率为k且k 0 则直线PQ的方程为y k x 由设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 则 PQ 解析几何解答题的解法 RN PQ 把k换成 S PQ RN S 2 当k 1时取等号又当k不存在或k 0时S 2综上可得 S 2 Smax 2 Smin 考题剖析返回目录点评求轨迹方程的实质就是求动点P x y 的坐标x y间的一个直接关系所以求轨迹方程问题的关键就是设点列出动点P所满足的条件对于含有向量的首先要将向量坐标化最值问题的处理要有函数的思想即怎么表示出要求最值的变量也就是要将函数关系式列出来再利用函数方面的知识进行求最值解析几何解答题的解法 3 已知椭圆方程为射线y 2x x 0 与椭圆的交点为M 过M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆交于A B两点异于M 求证直线AB的斜率kAB 2 求 AMB面积的最大值考题剖析返回目录解析斜率k存在不妨设k 0 求出M 1 2 直线MA方程为y 2 k x 1 直线MB方程y 2 k x 1 分别与椭圆方程联立可解出 kAB 2 解析几何解答题的解法考题剖析返回目录设直线AB方程为y 2x m 与x2 2联立消去y得8x2 4mx m2 8 0 由 0得 4 m 4 且m 0 点M到AB的距离为d 设 MAB的面积为S 当m 2时得Smax 2 点评本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程直线与方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思想方法考察推理及运算能力解析几何解答题的解法 4 飞船返回仓顺利到达地球后为了及时将航天员救出地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心记为A B C B在A的正东方向相距6km C在B的北偏东30 相距4km P为航天员着陆点某一时刻A接到P的求救信号由于B C两地比A距P远因此4s后 B C两个救援中心才同时接收到这一信号已知该信号的传播速度为1km s 1 求A C两个救援中心的距离 2 求在A处发现P的方向角 3 若信号从P点的正上方Q点处发出则A B收到信号的时间差变大还是变小并证明你的结论考题剖析返回目录解析几何解答题的解法考题剖析返回目录解析 1 以AB中点为坐标原点 AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系则A 3 0 B 3 0 C 5 2 km即A C两个救援中心的距离为km 2 PC PB P在BC线段的垂直平分线上又 PB PA 4 P在以A B为焦点的双曲线的左支上且 AB 6 双曲线方程为 1 x 0 BC的垂直平分线的方程为x y 7 0联立两方程解得 x 8 P 8 5 kPA tan PAB PAB 120 所以P点在A点的北偏西30 处解析几何解答题的解法 3 如图设 PQ h PB x PA y QB QA 又 QB QA PB PA 即A B收到信号的时间差变小考题剖析返回目录点评本题是一个以实际意义为背景的解析几何的问题涉及到求轨迹不等式问题的处理特别是在求轨迹时要灵活地建立坐标系解析几何解答题的解法考题剖析返回目录 5 已知抛物线C y2 2px p 0 上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1 1 求抛物线C的方程 2 若过焦点F的直线交抛物线于M N两点 M在第一象限且 MF 2 NF 求直线MN的方程 3 求出一个数学问题的正确结论后将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题我们把它称为原来问题的一个逆向问题例如原来问题是若正四棱锥底面边长为4 侧棱长为3 求该正四棱锥的体积求出体积后它的一个逆向问题可以是若正四棱锥底面边长为4 体积为求侧棱长也可以是若正四棱锥的体积为求所有侧面面积之和的最小值解析几何解答题的解法现有正确命题过点A 0 的直线交抛物线C y2 2px p 0 于P Q两点设点P关于x轴的对称点为R 则直线RQ必过焦点F 试给出上述命题的逆向问题并解答你所给出的逆向问题考题剖析返回目录解析 1 y2 4x 2 设N t t 0 则M t2 2t F 1 0 因为M F N共线则有kFM kNF 所以解得t 所以k 因而直线MN的方程是y 2 x 1 解析几何解答题的解法 3 逆向问题一已知抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 过点F的直线交抛物线C于P Q两点设点P关于x轴的对称点为R 则直线RQ必过定点A 0 考题剖析返回目录证明设过F的直线为y k x P x1 y1 Q x2 y2 则R x1 y1 由得k2x2 pk2 2p x p2k2 0 所以x1x2 所以直线RQ必过焦点A 解析几何解答题的解法过点A 0 的直线交抛物线C于P Q两点 FP与抛物线交于另一点R 则RQ垂直于x轴已知抛物线C y2 2px p 0 过点B m 0 m 0 的直线交抛物线C于P Q两点设点P关于x轴的对称点为R 则直线RQ必过定点A m 0 逆向问题二已知椭圆C 1的焦点为F1 c 0 F2 c 0 过F2的直线交椭圆C于P Q两点设点P关于x轴的对称点为R 则直线RQ必过定点A 0 考题剖析返回目录解析几何解答题的解法逆向问题三已知双曲线C 1的焦点为F1 c 0 F2 c 0 过F2的直线交双曲线C于P Q两点设点P关于x轴的对称点为R 则直线RQ必过定点A 0 考题剖析返回目录点评现在学习越来越主张自主学习创新学习本题是一个开放性十足的题首先题目给出了逆向问题这个概念要求在自学的基础上进行解答要求在平时就注意这方面的问题解析几何解答题的解法

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