《几何与代数》科学出版社习题解析第五章.ppt

几何与代数 主讲 关秀翠 东南大学数学系 东南大学线性代数课程 特征值和特征向量 E A E P 1AP i tr A i A A可逆 A的特征值 0 1 是A 1的特征值 A 是A 的特征值 E A E AT A f A f 对应于不同特征值的特征向量线性无关 AT A R 对应于不同特征值的特征向量正交 相似对角化 P 1AP diag 1 n A有n个l i 的特征向量 A 复 r iE A n ni A有n个不同特征值 A A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值 32 设n 2 都是n维实特征向量 且 是一标准正交向量组 p q都是非零实数 A p T q T 证明 1 都是A的特征向量 并求相应特征值 2 A相似于对角阵 并求相应对角阵 证明 1 A p T q T 所以实对称矩阵A可相似于对角阵 p T p A p T q T q T q 从而 都是A的特征向量 相应特征值为p q 2 AT p T q T T p T q T A r A r p T q T r p T r q T 2 当n 2时 A相似于对角阵 diag p q 32 设n 2 都是n维实特征向量 且 是一标准正交向量组 p q都是非零实数 A p T q T 证明 1 都是A的特征向量 并求相应特征值 2 A相似于对角阵 并求相应对角阵 证明 所以实对称矩阵A可相似于对角阵 从而 都是A的特征向量 相应特征值为p q 2 r A 2 当n 2时 A相似于对角阵 diag p q 当n 2时 A 0 则Q 1AQ diag p q 0 0 0是A的一个特征值 p q都是非零实数 0对应的特征向量与 正交 设0对应的标准正交特征向量为 3 n 令Q 3 n 32 设n 2 都是n维实特征向量 且 是一标准正交向量组 p q都是非零实数 A p T q T 证明 1 都是A的特征向量 并求相应特征值 2 A相似于对角阵 并求相应对角阵 所以实对称矩阵A可相似于对角阵 2 r A 2 当n 2时 A相似于对角阵 diag p q 当n 2时 Q 1AQ diag p q 0 0 3 当k满足什么条件时 kE A正定 kE A与kE 相似 3 当k max p q 时 kE A正定 3 当k max 0 p q 时 kE A正定 证明 A 1 T 1 B A 1 T A 1 0 对A i i i i i 2 n B的特征值为 设n阶实对称阵A的特征值为是A的属于 1的单位特征向量 证明 的特征值为 B i A i 1 T i B i A i i i T i 0 可去掉 33 设n阶实对称阵A的特征值为 是A的属于 1的单位特征向量 证明 的特征值为 证明 B的特征值为 实对称阵A可正交相似对角化 则令正交阵 Q q2 qn s t Q 1AQ diag 1 n Q 1BQ Q 1AQ 1Q 1 TQ 1QT TQ TQ T Tq2 Tqn 1 0 0 Q 1BQ 1 TQ T TQ TQ T TQ diag 1 0 0 diag 1 1 2 n diag 0 2 n 证明 1 若n阶方阵A满足A2 2A 证明 1 r 2E A r A n 2 A相似于对角阵 所以A相似于对角阵 r 2E A r A r 2E A A n r 2E A r A n 2E A A 2A A2 0 r 2E A r A n A的所有可能的特征值 满足 2 2 0 2 0 2 由Ax A对应0有n r A 个线性无关的特征向量 由 2E A x A对应2有n r 2E A 个线性无关的特征向量 n阶方阵A共有2n n n个线性无关的特征向量 3 若r A r 求 A E 解 3 若n阶方阵A满足A2 2A 证明 1 r 2E A r A n 2 A相似于对角阵 并且A相似于对角阵 A的所有可能的特征值 满足 2 2 0 0 2 3 若r A r 求 A E r A r 则与A相似的对角阵 中有r个2 其余为0 则存在可逆阵P 使得 A E E 3r P 1AP 由P 1 A E P E知 2 证明 用最小多项式 若n阶方阵A满足A2 2A 证明 1 r 2E A r A n 2 A相似于对角阵 所以A相似于对角阵 A的所有可能的特征值 满足f 2 2 0 0 2 3 若r A r 求 A E 由性质5 3 最小多项式m 能整除f 因为f 没有重根 故最小多项式m 没有重根