高考总复习一轮《名师一号-数学》第48讲.ppt

第四十八讲 第四十九讲 文 空间向量的坐标运算 回归课本1 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长都为1 则这个基底叫做单位正交基底 常用i j k来表示 在空间选定一点O和一个单位正交基底 如图 以点O为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫坐标轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系O xyz 点O叫原点 向量i j k都叫做坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称xOy平面 yOz平面 zOx平面 作空间直角坐标系O xyz时 一般使 xOy 135 yOz 90 对于空间任一向量a 由空间向量的基本定理 存在唯一的有序实数组 a1 a2 a3 使a a1i a2j a3k 有序实数组 a1 a2 a3 叫做a在空间直角坐标系O xyz中的坐标 记为a a1 a2 a3 对于空间任一点A 对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组x y z 使 xi yj zk 即点A的坐标为 x y z 2 向量的直角坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1b1 a2b2 a3b3 a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R 或 b1 b2 b3均不为0 a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 这就是说 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 答案 C 答案 B 答案 B 答案 D 答案 A 类型一空间向量的坐标运算解题准备 向量坐标的运算 就是向量的同名坐标之间的代数运算 向量相等就是对应坐标相等 要注意区分点的坐标与向量的坐标的关系 典例1 设向量a 3 5 4 b 2 1 8 计算2a 3b 3a 2b a b以及a与b所成的角的余弦值 并确定 的值 使 a b与z轴垂直 3 2 5 4 8 0 0 1 4 8 0知 只要 满足 4 8 0即可使 a b与z轴垂直 点评 由本例可知 要使向量a x1 x2 x3 与z轴垂直 只要x3 0即可 可见 要使向量a与某一个坐标轴垂直 只要向量a的相应坐标为零即可 且反之亦真 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算 解决此类问题关键是熟练运用公式 类型二空间向量的平行与垂直问题解题准备 用向量方法证明线面平行有多种方法 一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线 平行 向量 二是证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直 还可以证明直线的方向向量与平面的两不共线向量是共面向量 即利用平面向量基本定理进行证明 同学们不妨试一下这种方法 典例2 如图 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 AB AF 1 M是线段EF的中点 1 求证 AM 平面BDE 2 求证 AM 平面BDF 3 求二面角的大小 如图所示 在二面角 l 中 n1和n2分别为平面 和 的法向量 记二面角 l 的大小为 由cos n1 n2 m得 若二面角为锐角 则 arccos m 若二面角为钝角 则 arccos m 典例3 2011 淄博市一模 如图 三棱锥P ABC中 PC 平面ABC PC AC 2 AB BC D是PB上一点 且CD 平面PAB 1 求证 AB 平面PCB 2 求异面直线AP与BC所成的角的大小 3 求二面角C PA B的余弦值 点评 本题第 2 问建立空间直角坐标系 如果选取的方式不同 则图中各点的坐标表示也不相同 第 3 问利用两平面的法向量研究二面角问题 避免了辅助线的麻烦 但解题关键是平面法向量的求法 以及观察二面角是锐角还是钝角 不然容易出错 平面法向量的求法 设平面的法向量为n x y z 利用与平面内的两个向量a b垂直 其数量积为零 列出两个三元一次方程 然后只要取其某一组解 即得平面的法向量 如本例中平面PAC的法向量n就是这样求得的 探究1 如图 已知点P在正方体ABCD A B C D 的对角线BD 上 PDA 60 1 求DP与CC 所成角的大小 2 求DP与平面AA D D所成角的大小 点评 本题考查空间向量的基础知识 空间向量在实际问题中的应用及运算能力 探究2 如图所示 四边形ABCD是菱形 PA 平面ABCD PA AD 2 BAD 60 1 求证 平面PBD 平面PAC 2 求点A到平面PBD的距离 3 求异面直线AB与PC的距离 解析 以AC BD的交点为坐标原点 快速解题技法如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 2 E F分别是AB BC上的点 且EB FB 1 1 求二面角C DE C1的正切值 2 求直线EC1与FD1所成角的余弦值 快解 2 如图延长BA 取AG BE 1 连结D1G 则D1G EC1 FD1G为所求 名师作业 练全能 点击进入word