三角形“四心”定义与性质.doc

三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。性 质：1. 外心到三顶点等距，即。2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即.3.。二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积三角形的周长内切圆的半径3.；三角形的周长的一半。4.，。三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性 质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即。2. 的垂心为，的垂心为，的垂心为。四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性 质：1.顶点与重心的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。即3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值即.4. 向量性质：（1）； （2），5.。五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点为所在的平面内一点，满足， 则点为的垂心。结论2：若点为ABC所在的平面内一点，满足， 则点为的垂心。结论3：若点满足，则点为的重心。结论4：若点为所在的平面内一点，满足， 则点为的重心。结论5：若点为所在的平面内一点，并且满足（其中为三角形的三边），则点为ABC的内心。结论6：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的外心。结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的内心。