大学微积分l知识点总结(二).doc

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F’（x）=f（x），x∈I，则称F（x）是f（x）的一个“原函数”。 （2）若F（x）是f（x）在区间上的一个原函数，则f（x）在区间上的全体函数为F（x）+c（其中c为常数） （3）基本积分表 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C代表所有的常数函数 数乘运算 （6）运算法则 线性运算 加减运算 （7） （8） （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11） （12） 分段函数的积分 例题说明： （13） 在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19） 其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c0,(c0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题： 第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。 不能用普通方法积出的积分： 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 （1）多次分部积分的规律 （3）简单无理函数的积分 被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分 小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。 【第六部分】定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）定义 （12） 几种简化定积分的计算方法 ①关于原点对称区间上的函数的定积分 当f(x)为偶函数 当f(x)为奇函数 设f(x)是周期为T的周期函数，且连续。则： （n为奇数） （n为偶数） 分的值无关，依然可以正常去求。 （14） 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(ρ,0).则： θ x ρ y (15) 定积分中容易混淆的x与t的关系的问题 对于定积分，被积表达式中的无所谓t还是x，最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含x的时候，被积表达式用t表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含x和t，在二者都有的情况下，则把x看成常数提到外面或者换元换走x。 例证： 定积分证明问题中关于x与t化简后的计算方法： 2. 补充知识（课外补充） ☆【积分中值定理及其应用】☆ 积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值以及广泛的应用。 一、积分中值定理的内容 定理①：积分第一中值定理 定理②：推广的积分第一中值定理 二、积分中值定理的应用 由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理 在应用积分中值定理时应注意以下几点： ①在应用中应注意被积函数在区间[a,b]上这一连续条件，否则结论不一定会成立 ②在定理中的g(x)在[a,b]上面不能变号，这个条件也不能去掉。 ③定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必须是[a,b]内的点 下面就其应用进行讨论 （1）估计定积分的值 （2）求含有定积分的极限 说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值ξ不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中n的趋近方式。 （3）证明中值ξ的存在性命题 说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。 （4）证明积分不等式 说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定理。 （5）证明函数的单调性 三、积分中值定理的拓展 （1）第二积分中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在区间(a,b)上单调，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得： 特别地，g(x)在[a,b]上单调递增，则： （2）特殊积分中值定理 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则在[a,b]上必存在一点ξ，使得： （3）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。 23