六年级上册数学知识结构图.doc

分数乘法的意义 1、 分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 （例如：655表示求5个65的和是多少? 1/35表示求5个1/3的和是多少?）2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。（例如：1/34/7表示求1/3的4/7是多少。） 分数乘法的计算法则 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：分数乘法当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算；也可以直接约分。（交叉约分）分数化简约分的方法：分子分母同时除以它们的最大公因数。乘法中比较大小的规律 4、小数乘分数，可以先把小数化为分数再计算；也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）； 也可以将小数与分母直接约分再计算。 1、一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。 2、一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。 3、一个数(0除外)乘1，积等于这个数。 分数混合运算小结：分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数混合运算顺序： 先算乘除，后算加减；同级运算从左往右按顺序计算；带括号的先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算括号外面的。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律： a b = b a 分数乘法乘法结合律： ( a b )c = a ( b c )乘法分配律： ( a + b )c = a c + b c 画线段图 (1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。 (2)部分和整体的关系：画一条线段图。找单位丨分数乘法的解决问题 1、单位“1” 在分率句中“分数”的前面； 2、或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。 1、求一个数的几分之几是多少：用单位“1”的量分数=具体量 解决问题 2、求比一个数多（少）几分之几的数是多少：（1）单位“1”的量(1+分数)=另一个部分量 （2）已知占单位“1”的几分之几的部分量+单位“1”的量-=要求的部分量位置与方向（一） 1、 八个方向：东、南、西、北、东北、东南、西北、西南。 其中，东对西、南对北、东北对西南、西北对东南。2、地图一般按照“上北下南，左西右东”进行绘制的。位置与方向（二）3、观测点不同，物体位置的描述方向也会有所不同。描述物体的位置1、“东偏南30方向”就是以东为起始边，向南旋转30的方向。（“东偏南30方向”也可以说成“南偏东60方向”，但一般我们会选择角度更小的描述方法）2、物体的方向和距离是我们在描述物体具体位置时不可或缺的两个因素。3、物体位置关系的相对性：方向相反，角度相同，距离相同。位置与方向（二）确定物体的位置 角的画法：角的顶点对齐量角器圆心，起始边对齐量角器底边，根据量角器上的度数确定角度并打上点做好标记，连接点与顶点，擦除多余线条。 确定物体位置的方法： 1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）。（注：记得标注起点、终点、角度、距离）描述并绘制路线图 路线图的描述：每次描述都要说明起点、方向、距离和终点；语句可以用先、然后、接着、最后等词语进行连接。（注意：观测点会随着移动的变化而变化） 路线图的绘制： 1、确定起点、长度标准、北面的方向； 2. 建立方向标，并根据描述画出路线图；（方向标使用虚线绘制） 3、检查并标注起点、终点、角度、距离。分数除法 1、倒数的意义：乘积是一的两个数互为倒数。强调：倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(要说清谁是谁的倒数)倒数的认识2. 求倒数的方法： (1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 (2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。3、1的倒数是1，0没有倒数。4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。（乘法： 因数 因数 = 积 除法： 积 一个因数 = 另一个因数） 2、分数除法的计算法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。分数除法（注意：除法转化成乘法时，被除数不变，“”变成“”，除数变成它的倒数。） 3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。 4、分数除法比较大小时的规律： (1)当除数大于1，商小于被除数;分数乘除混合运算 (2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数; (3)当除数等于1，商等于被除数。 1、先把连除运算或乘除混合运算转换成连乘运算，再按乘法混合运算的法则进行计算。 2、连续除以两个数等于除这两个数的乘积。（即：a（b c）=abc） 3、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。 （1）理解题意，找出单位“1”的量；分数除法1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数： 方程法 （2）画图分析，列出数量关系式；（注3：一定要解设） （3）根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 算式法：分数对应量对应分数 = 单位“1”的量（根据关系式） 2、已知比一个数多（少）几分之几的 （比少）：具体量 ( 1 - 分率)= 单位“1”的量解决问题数是多少，求这个数： 例如:桃树有50棵，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。50（1-1/6） （比多）：具体量 (1+分率)= 单位“1”的量 例如:一种商品现在是80元，比原价增加了1/7，原价多少？ 3、分数和倍问题： （1）理解题意，找出两个数量之间的数量关系； （2）列出数量关系式，并解设一个未知量为X； （3）根据数量关系式列出方程并解答。4、工程问题： （1）工作总量未知的情况下，我们可以假设一个工作总量或者假设工作总量为单位“1”； （假设为具体的数量时要写明假设的具体数字，并且计算结果要带单位） （2）合做多长时间完成一项工程用1效率和，即1（1/时间+1/时间）工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率 工作总量工作效率之和=工作时间之和 总路程速度和=相遇时间比1、比的意义：两个数的比表示两个数相除。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（比值后面不带单位）例如 15 ：10 = 1510=3/2(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)15 10 3/2前项 比号 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。比的意义也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。4、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 5、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 6、比和除法、分数的联系：比前项比号“：”后项比值除法被除数除号“”除数商分数分子分数线“”分母分数值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。1、比的基本性质根据比、除法、分数的关系：比 （1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。 （2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。（3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： （1）整数比：比的前项和后项同时除以最大公因数； （2）分数比：先比的前项和后项同时乘分母的最大公倍数，化成整数比，再前项和后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。 （3）小数比：先比的前项和后项同时乘10、100或1000，化成整数比， 再前项和后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。 （4）小数、分数混合比：先把小数化成分数或者把分数化成小数，再同上。 （注意：比中有单位时，化简和求比值要先化成相同的单位，再化简和求比值，结果没有单位。）比的应用 按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 解法： 归一法：先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别乘它们的份数求具体数量是多少。 分数法：按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分数。先求出总份数，再求出“几份”占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘相应份数。（例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？） 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。圆的认识 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：d=2r或r=d/2。圆 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验： 滚动法：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。 （化曲为直） 绳测法：用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长。 发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即倍多一点。圆 3、圆周率： 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。圆的周长（1）圆周率是一个固定不变的无限不循环小数，用字母(pai) 表示。在计算时，一般取 3.14。（2）在判断时，圆周长与它直径的比值是倍，而不是3.14倍。 4、圆的周长公式： C= d或C=2r（根据所给条件选择相应的公式） 已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的倍，用字母表示 r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)圆周长的一半：等于圆的周长2。计算方法：2 r 2 即C半= r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：C半圆=r+d1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。圆的面积长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 3、圆的面积公式：S圆 =r 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度) 环形的面积公式： S圆环= R-r或S圆环 = ( R- r)（建议用这个公式）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。圆的面积7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4。8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、外方内圆（内切圆）：公式S=0.86r推导过程：S=S正-S圆=d-r 10、外圆内方（外切圆）：公式S=1.14r推导过程：S=S圆-S正（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）扇形1、弧：图上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。圆2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。4、扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关：同一个圆中，圆心角越大，扇形越大，圆心角越小，扇形越小；5、扇形面积的求法：S扇=S圆n/360；S扇环=S环n/3606、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。常用各值结果： = 3.14；2 = 6.28 ；3 = 9.42； 4 =12.56；5=15.7；6=18.84；7=21.98；8=25.12 9=28.26；10=31.4百分数的意义和读写1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。（例如：今天全校学生的出勤率为95%表示）百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。 2、百分数的读法：先读百分号，再读数。 3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之几。 4、百分数有时比1小，有时比1大，有时和1相等。（百分数中的数也可以是小数） 5、百分数和分数的主要联系与区别： 联系：都可以表示一个数是另一个数的几分之几。百分数（即：都可以表示两个量的倍数关系。） 区别：百分数只表示两个数的倍数关系，不能带单位；百分数和分数、小数的互化而分数既可以表示两个数的倍数关系，又可以表示一个具体的数，表示具体数时可以带单位。 百分数与小数的互化 小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补位），同时在后面添上百分号。 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。 百分数的和分数的互化 百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。 分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）百分数 1、常见的百分率的计算方法： 用百分数解决问题 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。2、求一个数是另一个数的百分之几：用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。3、求一个数的百分之几和求一个数的几分之几意义相同：用单位“1”的量百分数=具体量4、求一个数比另一个数多（少）百分之几：用两个数的相差量单位“1”的量 =百分之几例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？列式是：（5040）40=0.25=25%（说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。）5、求比一个数多（少）百分之几的数是多少： （1）单位“1”的量(1+分数)=另一个部分量 （和求比一个数多（少）几分之几的数是多少方法一样） （2）多（少）部分+单位“1”的量-=要求的部分量6、用单位“1”解决实际问题： （1）原价未知的情况下，我们可以假设一个原价或者假设原价为单位“1”； （假设为具体的数量时要写明假设的具体数字，并且计算结果要带单位）（2）计算结果和假设的价钱没有直接关系；（3）涨跌幅度相同时先涨再跌和先跌再涨结果一样。扇形统计图 扇形统计图的认识 1、扇形统计图的认识：用整个圆的面积表示总数量，每个扇形分别表示总体中的不同部分，扇形的大小反映各部分数量占总数的百分之几。这样的统计图叫做扇形统计图。常用统计图的优点 2、扇形统计图的特点：扇形统计图可以清楚的反映出各部分数量与总数之间的关系。1、 条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2、 折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、 扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量与总数之间的关系。（要在统计图上写出百分率）根据已知条件和所要反映的数据选择合适的统计图。1、从1开始的连续奇数的和等于这串数个数的平方。例如：1+3+5+7+9+11=52数与形2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n（n+1）。3、（极限思想）数形结合：在数学领域中，有时会遇到一些比较棘手的问题，如果借助图形的帮助，这些棘手的数学问题就很快会得到解决。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休