格型滤波器和简单整系数数字滤波器.ppt

8 2格型滤波器 8 2 1全零点 FIR 格型滤波器一个M阶的FIR滤波器的系统函数H z 可写成如下形式 其中 b i M表示M阶FIR滤波器的第i个系数 并假设首项系数b0 1 H z 对应的格型结构如图8 2 1所示 图8 2 1全零点格型滤波器网络结构 图8 2 2全零点格型结构 基本单元 图8 2 2所示基本格型单元的输入 输出关系如下式 em n em 1 n rm 1 n 1 km 8 2 2a rm n em 1 n km rm 1 n 1 8 2 2b 且e0 n r0 n x n 8 2 2c y n em n 8 2 2d 格型结构网络系数 ki 的公式推导 km与滤波器系数b m m之递推关系 例8 2 1FIR滤波器由如下差分方程给定 求其格型结构系数 并画出格型结构图 解 对差分方程两边进行Z变换的H z B3 z 图8 2 3H z 的格型结构流图 IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数 可以根据FIR格型结构开发 设一个全极点系统函数由下式给定 图8 2 4全极点 IIR 滤波器格型结构 8 2 2全极点 IIR 格型滤波器 H z 为A z 的逆系统 例8 2 2设全极点IIR滤波器系统函数为求其格型结构网络系数 并画出格型结构 解 由例8 2 1所求FIR格型结构网络系数 图8 2 5例8 2 2中的IIR格型结构 按逆系统规则 得出 在数字信号处理中 格型 Lattice 网络起着重要的作用 它对有限寄存器长度效应敏感度低 在功率谱估计 语音处理 自适应滤波 线性预测和逆滤波等方面已经得到广泛应用 MATLAB函数 latc2tf tf2latc 8 3简单整系数数字滤波器 前面介绍的IIR FIR数字滤波器设计方法可以给出滤波性能相当好的滤波器 但其系数一般为非整数 在实际应用中 特别是实时信号处理场合 有时对滤波器性能要求并不是很高 但对处理速度要求较高 且要求设计方法简单易行 这时 简单整系数数字滤波器是最好的选择 概念 指滤波器网络中的乘法支路增益均为整数的滤波器 特点 乘法运算速度快 实际实现的运算单元只有少量的移位和相加操作单元 左移一位可实现乘2运算 左移一位 再加上移位前的原数数据就可实现乘3的运算 其它整数相乘的实现可依次类推 整系数数字滤波器 1 多项式拟合的基本概念设序列x n 中的一组数据为x i i M 0 M 我们可以构造一个p阶多项式fi来拟和这一组数据x i 总的拟合误差为 8 3 1 8 3 2 8 3 1建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器 为了使拟合满足最小均方误差准则 令E对各系数的导数为零 即令 则 8 3 3 式可写成如下形式 8 3 3 8 3 4 2 最佳拟合模板与简单整系数FIR滤波器的单位脉冲响应h n 在实际应用中 并不将fi的p 1个系数全求出来 而是只求出a0 就可实现对x n 的最佳拟合 由 8 3 1 式可知 例如 当M 2 p 2时 为五点二次 抛物线 多项式拟合 据 8 3 4 式 并考虑当k r 奇数时sk r 0 有 8 3 5 其中 代入上式可得 8 3 6 8 3 7 8 3 8 图8 3 1低通滤波器幅频特性 a M 2 p 2 b M 3 p 3 如前所述 在单位圆上等间隔分布N个零点 则构成 梳状滤波器 如果在z 1处再设置一个极点 对消该处的零点 则构成低通滤波器 其系统函数和频率响应函数分别为 8 3 2建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器 图8 3 2低通滤波器零 极点分布及幅频特性 N 10 a 8 3 9a 式的零 极点分布图 b 8 3 9b 式的幅频特性 基于同样的思想 在z 1处设置一个极点对消该处的零点 则构成高通滤波器 其系统函数及频率响应函数分别为 8 3 10a 8 3 10b 图8 3 3高通滤波器零 极点分布及幅频特性 a 8 3 10a 式零 极点分布 b 幅频特性 假设我们要求带通滤波器的中心频率为 0 0 0 应当在z ej 0和z e j 0处设置一对共轭极点 则带通滤波器的系统函数和频响函数为 8 3 11a 8 3 11b 图8 3 4带通滤波器零 极点分布及幅频特性 N 12 0 6 a 8 3 11a 式的零 极点分布 b 幅频特性曲线 例如 取理想全通滤波器频响为HAP ej ce j m m为正整数 c为常数要从HBP ej 中减去带通滤波器HBP ej 时 二者的相位特性必须一致 为此 HBP z 取为如下形式 若取 8 3 11a 式 存在一常数相移 2 8 3 12a 相应的频响函数为 8 3 12b 带阻滤波器 全通滤波器减去带通滤波器 取HAP ej 中的m N 2 1即可满足相位特性一致条件 带阻滤波器的系统函数和频响函数分别为 8 3 13a 8 3 13b 8 3 14 例8 3 1设计一个简单整系数低通滤波器 要求f 60Hz时 衰减不大于3dB 阻带最大衰减 s 40dB 采样频率fs 1200Hz 解由 8 3 9b 和 8 3 14 式知道 8 3 15 式中有两个未知数N和k 由已知条件可知 通带边界频率fp 60Hz ap 3dB 相应的数字滤波器的3dB通带边界频率为 为了书写简单 令 8 3 16 8 3 17 8 3 18 当N较大时 sin 3 2N 3 2N 所以 可用3 2N代替sin 3 2N 得到 频响的主瓣宽度由N确定 当 p给定时 p与主瓣宽度有关 所以 为了求得N值 应利用下式 当 p很小时 sin p 2 p 2 并令N p 2 x 则 因为在 p处sinx x恒为正 所以有 将sinx x展开成台劳级数 仅取前两项近似得 代入 p 3dB k 3 解出x 0 8078 N 5 14 取N 6 所求低通滤波器系统函数为 8 3 19 可求出 HLP ej0 216 如果希望 HLP ej0 1 则取 例8 3 2在信号采集时 往往会受到50Hz电源频率干扰 现希望设计一个整系数50Hz陷波器 滤除50Hz干扰 要求陷波器阻带尽量窄 最好在50Hz 2Hz以内 而通带应尽量平坦 给定采样频率fs 400Hz 试设计该陷波器 解由前述可知 这类整系数陷波器要用一个全通滤波器减去一个带通滤波器实现 所以 该题的关键是设计一个满足要求的带通滤波器 如前述 带通滤波器的系统函数应取 8 3 12a 式的形式 8 3 20 由于第一个极点z ej 4一定是HBP z 的一个零点 所以将其代入 8 3 20 式分子中 应有 为整数 所以 N 4 2l 1 N 4 2l 1 即N应是4的奇数倍 即 8 3 21a 8 3 21b 其频响函数为 8 3 24a 8 3 24b 图8 3 550Hz数字陷波器幅频特性 a l 50 k 1 b l 24 k 1 c l 24 k 2