高考数学三角函数与平面向量复习.doc

高考数学三角函数与平面向量复习三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点.一、三角函数问题1三角函数的图像和性质（1）具体要求：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（，的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx图像，了解三角函数的周期性；借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在（-,）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）；理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+cos2x=1，=tanx.结合具体实例，了解y=Asin(x+)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(x+)的图像，观察参数A，对函数图像变化的影响；会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势.例1.已知函数f(x)= Asin(x+)( A0,0,的角x的集合；（5）函数f(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sinx的图像.解：（1）依题意可知A=2，=24=8，=，于是得 f(x)= 2sin(x+)又x=0时f(0)= 2sin=1，sin=，且的角x的集合是x+8kx2+8k , kZ .（5）把函数f(x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的；再把所得函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的；再把所得的函数图像向右平移个单位即得函数y=sinx的图像.点评：本题重点考查相关的基础知识和基本方法，考查阅读理解及语言表达能力.狠抓双基的学习是永恒的话题.例2（2006湖北理）设函数= a(b+c)，其中向量a=(sinx，-cosx)，b=(sinx，-3cosx)，c =(-cosx，sinx)，xR .（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d. 解：()由题意得，f(x)a(b+c) =(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x, kZ，于是d（，2），dkZ.因为k为整数，要使d最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求. 点评：本题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 在这里我们也可以看到，所谓的高考试题，实际上更加注重对双基的考查，提醒我们平时学习要注重基础，注重对所学知识的融会贯通.2三角恒等变换(1)具体要求经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.(2)题型示例：这部分的问题主要是化简、求值、证明等问题.例3.（2005福建）已知-x0，sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；(2)求的值.解：（1）由sinx+cosx=得sinxcosx=-，（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=.又-x0，故sinx0，cosx0，sinx-cosx=-.(2) 由sinx+cosx=，sinx-cosx=-得sinx=-，cosx=，tanx=-，=-.点评：此题考查了同角三角函数关系式的运用、三角函数的化简、变形能力，考查了方程的思想.注意到sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx之间的关系，这在化简求值中应用的频率上很高的.例4（2006重庆理）已知，sin()= sin则cos=_ .解：由得（，2），又sin()=故cos()=.由得-（，），又sin故cos(-)=-.于是，cos=cos()-(-) = cos()cos(-)+sin()sin(-) =-.点评：本题考查三角变换及三角运算能力.三角变换包括三角函数、三角式的变换和角变换，这里主要是角的变换.灵活地进行角的变换是灵活地进行三角变形的基础.3.解三角形（1）具体要求通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（2）题型示例：利用三角知识解决三角形中的三角函数问题，包括解三角形，三角形形状的判定，应用问题等.要注意的是三角形中的边角关系、正余弦定理的灵活运用.例5（2006江西文）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则.（2）因为S=，又S=bcsinA=bc，则bc3将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b . 点评：本题主要考查三角形中的三角函数问题，灵活运用诱导公式、同角三角函数的关系式、二倍角公式、三角形面积公式、余弦定理等进行三角变换、计算的能力.例6.（2006上海文理）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？解：连接BC，由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=， ACB90 ， ACB=41，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援. 点评：本题主要考查学生的数学应用意识、实际问题化归为数学问题以及分析问题解决问题的能力.题不在难，在于适用.二、平面向量问题（1）具体要求了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义，了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.（2）题型示例：例7（2006全国2理）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值解：（1）ab ab=0 （2）a+b=（sin+1，cos+1）=当=1时a+b有最大值，此时，最大值为点评：本题主要考查向量垂直转化为数量积为0、特殊角的三角函数值、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性、已知向量的坐标表示求模等，难度中等，计算量不大三、易错问题分析例8函数=的值域为 解：=（sinx+cosx）-1 =sin(x+)-1 又sin(x+)-1，1 sin(x+)=1时=(-1)； sin(x+)=-1时=-(+1) 函数的值域为-(+1)，(-1) 简析略解：此解法看似正确，实际上忽视了函数的定义域，从而导致错误事实上，在化简函数解析式的过程中要注意1+sinx+cosx0，即sin(x+)-，因此-1，函数的值域应为-(+1)，-1）（-1，(-1) 例9若2sin2x+sin2y=3sinx，则sin2x+sin2y的取值范围是 解：由已知得sin2y= 3sinx-2sin2x0，从而得0sinx，于是sin2x+sin2y= -sin2x+3sinx= -(sinx-)2+（0，），sin2x+sin2y的取值范围是（0，）.简析略解：上述解法看似考虑了变量sinx的取值范围，好象天衣无缝，实际上仍然没有准确的求出变量sinx的范围.事实上，0sin2y= 3sinx-2sin2x1，因此，0sinx或sinx=1.sin2x+sin2y的取值范围是0，2.例10已知向量p，q满足p=，q=3， p与q的夹角为900，若p+tq与tp+q的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 .解：若p+tq与tp+q的夹角为锐角，则（p+tq）（tp+q）0，即 tp2+tq2+(1+t2) pq=3t+9t=12t0，t0即为所求.简析略解：由p+tq与tp+q的夹角为锐角（p+tq）（tp+q）0是正确的，但是当（p+tq）（tp+q）0时却得不到p+tq与tp+q的夹角为锐角！因为此时也可能有p+tq与tp+q的夹角为00，因此要在前面所求得的范围内去掉使p+tq与tp+q的夹角为00的t值.事实上，当p+tq与tp+q的夹角为00时，可设p+tq=s(tp+q)，则得 st=1，且t=s.解得t=s=1. 实数t的取值范围是t0且t1.