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定义新运算1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= 。2.如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a= 。3.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= 。4.已知a,b是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1,那么 。5.x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么+的值是 。6.如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x= 。7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= 。8.规定一种新运算“”: ab=.如果(x3)4=421200,那么x= 。9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 。10.设a,b为自然数,定义ab。(1)计算(43)+(85)的值；(2)计算(23)4；(3)计算(25)(34)。11.设a，b为自然数，定义ab如下:如果ab，定义ab=a-b，如果ab，则定义ab= b-a。(1)计算:(34)9；(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc)。12.设a,b是两个非零的数,定义ab。(1)计算(23)4与2(34)。(2)如果已知a是一个自然数，且a3=2,试求出a的值。13.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab。比如:10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则1014=70-2=68。(1)求1221,515；(2)说明，如果c整除a和b,则c也整除ab；如果c整除a和ab，则c也整除b；(3)已知6x=27,求x的值。答案一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）规定：ab=（b+a）b，那么（23）5=100考点：定义新运算。1665141分析：根据ab=（b+a）b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（23）5的值解答：解：因为，23=（3+2）3=15，所以，（23）5=155=（5+15）5=100，故答案为：100点评：解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值2（3分）如果ab表示（a2）b，例如34=（32）4=4，那么，当a5=30时，a=8考点：定义新运算。1665141分析：根据“ab表示（a2）b，34=（32）4=4，”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出a的值解答：解：因为，a5=30，所以，（a2）5=30，5a10=30，5a=40，a=8，故答案为：8点评：解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可3（3分）定义运算“”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab例如：46=（4，6）+4，6=2+12=14根据上面定义的运算，1812=42考点：定义新运算。1665141分析：根据新运算知道，求1812，就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答解答：解：因为，18和12的最大公约数是6，最小公倍数是36，所以，1812=（18，12）+18，12=6+36=42；故答案为：42点评：解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可4（3分）已知a，b是任意有理数，我们规定：ab=a+b1，ab=ab2，那么4（68）（35）=98考点：定义新运算。1665141分析：根据ab=a+b1，ab=ab2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4（68）（35）的值解答：解：4（68）（35），=4（6+81）（352），=41313，=413+131，=425，=4252，=98，故答案为：98点评：解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可5（3分）x为正数，x表示不超过x的质数的个数，如5.1=3，即不超过5.1的质数有2，3，5共3个那么19+93+418的值是11考点：定义新运算。1665141分析：根据题意，先求出不超过19的质数的个数，再求出不超过93的质数的个数，而不超过1的质数的个数是0，所以418的值是0，因此即可求出要求的答案解答：解：因为，19为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，93为不超过的质数，共24个，并且，1=0，所以，19+93+418，=19+93，=8+24，=32，=11，故答案为：11点评：解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可6（3分）如果ab表示3a2b，例如45=3425=2，那么，当x5比5x大5时，x=6考点：定义新运算。1665141分析：根据所给的运算方法，将x5比5x大5写成方程的形式，解答方程即可解答：解：由x55x=5，可得：（3x25）（352x）=5， 5x25=5， x=6，故答案为：6点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可7（3分）如果14=1234，23=234，72=78，那么45=45678考点：定义新运算。1665141分析：根据“14=1234，23=234，72=78”，得出新的运算方法：的前一个数字是等号后面数的第一个数字，后面的数字表示连续数的个数，是从前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算45的值即可解答：解：由于14=1234，23=234，72=78，所以45=45678；故答案为：45678点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可8（3分）我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3请计算：=考点：定义新运算。1665141分析：根据符号表示选择两数中较大数的运算，符号表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案解答：解：=，0.625=，=，2.25=，所以：=；故答案为：点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可9（3分）规定一种新运算“”：ab=a（a+1）（a+b1）如果（x3）4=421200，那么x=2考点：定义新运算。1665141分析：先根据“ab=a（a+1）（a+b+1）”，知道新运算“”的运算方法，由于（x3）4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案解答：解：令x3=y，则y4=421200，又因为，421200=24345213=24252627，所以，y=24，即x3=24，又因为，24=233=234，所以，x=2；故答案为：2点评：解答此题的关键是，根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案10（3分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“”，规定：xy=ax+bycxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算又知道12=3，23=4，xm=x（m0），则m的数值是4考点：定义新运算。1665141分析：根据xy=ax+bycxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将12=3，23=4，xm=x写成方程的形式，即可解答解答：解：由题设的等式xy=ax+bycxy及xm=x（m0），得a0+bmc0m=0，所以bm=0，又m0，故b=0，因此xy=axcxy，由12=3，23=4，得，解得a=5，c=1，所以xy=5xxy，令x=1，y=m，得5m=1，故m=4；故答案为：4点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可二、解答题（共4小题，满分0分）11设a，b为自然数，定义ab=a2+b2ab（1）计算（43）+（85）的值；（2）计算（23）4；（3）计算（25）（34）考点：定义新运算。1665141分析：根据“ab=a2+b2ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可解答：解：（1）（43）+（85），=（42+3243）+（82+5285），=1+49，=62；（2）（23）4，=（22+3223）4，=74，=72+4274，=37；（3）（25）（34），=（22+5225）（32+4234），=1913，=192+1321913，=283；答：（1）62，（2）37，（3）283点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可12设a，b为自然数，定义ab如下：如果ab，定义ab=ab，如果ab，则定义ab=ba（1）计算：（34）9；（2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式是否成立？ab=ba；（ab）c=a（bc）考点：定义新运算。1665141分析：（1）根据“如果ab，定义ab=ab，如果ab，则定义ab=ba，”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（34）9的值即可；（2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明 和 这两个等式是否成立解答：解：（1）（34）9=（43）9=19=91=8；（2）因为表示ab表示较大数与较小数的差，显然ab=ba成立，即这个运算满是交换律，但一般来说并不满足结合律，例如：（34）9=8，而3（49）=3（94）=35=53=2，所以，这个运算满足交换律，不满足结合律；答：这个运算满足交换律，不满足结合律点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可13设a，b是两个非零的数，定义ab=（1）计算（23）4与2（34）（2）如果已知a是一个自然数，且a3=2，试求出a的值考点：定义新运算。1665141分析：（1）根据ab=，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（23）4与2（34）即可；（2）根据新运算方法将a3=2，转化成方程的形式，再根据a是自然数，即可求出a的值解答：（1）按照定义有23=，34=，于是（23）4=4=，2（34）=2；（2）由已知得若a6，则2，从而与矛盾，因此a5，对a=1，2，3，4，5这5个可能的值，一一代入式中检查知，只有a=3符合要求点评：解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可14定义运算“”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则1014=702=68（1）求1221，515；（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除ab；如果c整除a和ab，则c也整除b；（3）已知6x=27，求x的值考点：定义新运算。1665141分析：（1）根据新的定义运算，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数，5与15的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；（2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；（3）由于运算“”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与x的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案解答：解：（1）因为，12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，所以，1221=843=81，同样道理515=155=10；（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a，b的最大公约数，显然c也整除a，b最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除ab，如果c整除a和ab，由c整除a推知c整除a，b的最小公倍数，再由c整除ab推知，c整除a，b的最大公约数，而这个最大公约数整除b，所以c整除b；（3）因为6与x的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于：27+6=33，而28到33之间，只有30是6的倍数，可见6和x的最小公倍数是30，因此，它们的最大公约数是3027=3，由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，得到：303=6x， 6x=90， x=15，所以x的值是15点评：解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可
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