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定义新运算1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= 。2.如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a= 。3.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= 。4.已知a,b是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1,那么 。5.x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么+的值是 。6.如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x= 。7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= 。8.规定一种新运算“”: ab=.如果(x3)4=421200,那么x= 。9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“”,规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 。10.设a,b为自然数,定义ab。(1)计算(43)+(85)的值;(2)计算(23)4;(3)计算(25)(34)。11.设a,b为自然数,定义ab如下:如果ab,定义ab=a-b,如果ab,则定义ab= b-a。(1)计算:(34)9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc)。12.设a,b是两个非零的数,定义ab。(1)计算(23)4与2(34)。(2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值。13.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab。比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=70-2=68。(1)求1221,515;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值。答案一、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)1(3分)规定:ab=(b+a)b,那么(23)5=100考点:定义新运算。1665141分析:根据ab=(b+a)b,得出新的运算方法,再根据新的运算方法解答(23)5的值解答:解:因为,23=(3+2)3=15,所以,(23)5=155=(5+15)5=100,故答案为:100点评:解答此题的关键是,根据所给的等式,找出新的运算方法,再运用新的运算方法,解答出要求式子的值2(3分)如果ab表示(a2)b,例如34=(32)4=4,那么,当a5=30时,a=8考点:定义新运算。1665141分析:根据“ab表示(a2)b,34=(32)4=4,”得出新的运算方法,再用新的运算方法计算a5=30,即可写成方程的形式,解此方程得出a的值解答:解:因为,a5=30,所以,(a2)5=30,5a10=30,5a=40,a=8,故答案为:8点评:解答此题的关键是根据题意找出新运算方法,再根据新运算方法解答即可3(3分)定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14根据上面定义的运算,1812=42考点:定义新运算。1665141分析:根据新运算知道,求1812,就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和,由此即可解答解答:解:因为,18和12的最大公约数是6,最小公倍数是36,所以,1812=(18,12)+18,12=6+36=42;故答案为:42点评:解答此题的关键是,根据定义的新运算,找出运算方法,列式解答即可4(3分)已知a,b是任意有理数,我们规定:ab=a+b1,ab=ab2,那么4(68)(35)=98考点:定义新运算。1665141分析:根据ab=a+b1,ab=ab2,得出新的运算方法,再运用新的运算方法计算4(68)(35)的值解答:解:4(68)(35),=4(6+81)(352),=41313,=413+131,=425,=4252,=98,故答案为:98点评:解答此题的关键是根据给出的式子,找出新的运算方法,用新运算方法解答即可5(3分)x为正数,x表示不超过x的质数的个数,如5.1=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个那么19+93+418的值是11考点:定义新运算。1665141分析:根据题意,先求出不超过19的质数的个数,再求出不超过93的质数的个数,而不超过1的质数的个数是0,所以418的值是0,因此即可求出要求的答案解答:解:因为,19为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个,93为不超过的质数,共24个,并且,1=0,所以,19+93+418,=19+93,=8+24,=32,=11,故答案为:11点评:解答此题的关键是,根据题意,找出新的符号表示的意义,再根据定义的新运算,找出对应量,解答即可6(3分)如果ab表示3a2b,例如45=3425=2,那么,当x5比5x大5时,x=6考点:定义新运算。1665141分析:根据所给的运算方法,将x5比5x大5写成方程的形式,解答方程即可解答:解:由x55x=5,可得:(3x25)(352x)=5, 5x25=5, x=6,故答案为:6点评:解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,列式解答即可7(3分)如果14=1234,23=234,72=78,那么45=45678考点:定义新运算。1665141分析:根据“14=1234,23=234,72=78”,得出新的运算方法:的前一个数字是等号后面数的第一个数字,后面的数字表示连续数的个数,是从前面的数开始连续,然后运用新的运算方法计算45的值即可解答:解:由于14=1234,23=234,72=78,所以45=45678;故答案为:45678点评:解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再利用新的运算方法解答即可8(3分)我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号表示选择两数中较小数的运算,例如:53=35=3请计算:=考点:定义新运算。1665141分析:根据符号表示选择两数中较大数的运算,符号表示选择两数中较小数的运算,得出新的运算方法,用新的运算方法,计算所给出的式子,即可得出答案解答:解:=,0.625=,=,2.25=,所以:=;故答案为:点评:解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,解答即可9(3分)规定一种新运算“”:ab=a(a+1)(a+b1)如果(x3)4=421200,那么x=2考点:定义新运算。1665141分析:先根据“ab=a(a+1)(a+b+1)”,知道新运算“”的运算方法,由于(x3)4=421200,这个式子里有两步新运算,所以令其中的一步运算式子为y,再根据新的运算方法,由此即可求出要求的答案解答:解:令x3=y,则y4=421200,又因为,421200=24345213=24252627,所以,y=24,即x3=24,又因为,24=233=234,所以,x=2;故答案为:2点评:解答此题的关键是,根据新运算方法的特点,只要将整数写成几个自然数连乘的形式,即可得出答案10(3分)对于任意有理数x,y,定义一种运算“”,规定:xy=ax+bycxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是4考点:定义新运算。1665141分析:根据xy=ax+bycxy,找出新的运算方法,根据新的运算方法,将12=3,23=4,xm=x写成方程的形式,即可解答解答:解:由题设的等式xy=ax+bycxy及xm=x(m0),得a0+bmc0m=0,所以bm=0,又m0,故b=0,因此xy=axcxy,由12=3,23=4,得,解得a=5,c=1,所以xy=5xxy,令x=1,y=m,得5m=1,故m=4;故答案为:4点评:解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,列式解答即可二、解答题(共4小题,满分0分)11设a,b为自然数,定义ab=a2+b2ab(1)计算(43)+(85)的值;(2)计算(23)4;(3)计算(25)(34)考点:定义新运算。1665141分析:根据“ab=a2+b2ab”得出新的运算方法,然后运用新的运算方法进行计算即可解答:解:(1)(43)+(85),=(42+3243)+(82+5285),=1+49,=62;(2)(23)4,=(22+3223)4,=74,=72+4274,=37;(3)(25)(34),=(22+5225)(32+4234),=1913,=192+1321913,=283;答:(1)62,(2)37,(3)283点评:解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再利用新的运算方法解答即可12设a,b为自然数,定义ab如下:如果ab,定义ab=ab,如果ab,则定义ab=ba(1)计算:(34)9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?ab=ba;(ab)c=a(bc)考点:定义新运算。1665141分析:(1)根据“如果ab,定义ab=ab,如果ab,则定义ab=ba,”得出新的运算方法,再利用新的运算方法计算(34)9的值即可;(2)要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律,也就是证明 和 这两个等式是否成立解答:解:(1)(34)9=(43)9=19=91=8;(2)因为表示ab表示较大数与较小数的差,显然ab=ba成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(34)9=8,而3(49)=3(94)=35=53=2,所以,这个运算满足交换律,不满足结合律;答:这个运算满足交换律,不满足结合律点评:解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再根据新的运算方法解答即可13设a,b是两个非零的数,定义ab=(1)计算(23)4与2(34)(2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值考点:定义新运算。1665141分析:(1)根据ab=,找出新的运算方法,再根据新的运算方法,计算(23)4与2(34)即可;(2)根据新运算方法将a3=2,转化成方程的形式,再根据a是自然数,即可求出a的值解答:(1)按照定义有23=,34=,于是(23)4=4=,2(34)=2;(2)由已知得若a6,则2,从而与矛盾,因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求点评:解答此题的关键是根据所给的式子,找出新运算的运算方法,再用新运算方法计算要求的式子即可14定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=702=68(1)求1221,515;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值考点:定义新运算。1665141分析:(1)根据新的定义运算,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数,5与15的最小公倍数和最大公约数,问题即可解决;(2)根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明;(3)由于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围,即根据6与x的最小公倍数不小于27+1,不大于27+6,由此即可得出答案解答:解:(1)因为,12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,所以,1221=843=81,同样道理515=155=10;(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除ab,如果c整除a和ab,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除ab推知,c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以c整除b;(3)因为6与x的最小公倍数不小于:27+1=28,不大于:27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此,它们的最大公约数是3027=3,由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到:303=6x, 6x=90, x=15,所以x的值是15点评:解答此题的关键是,根据定义新运算,得出新的运算意义,再利用新的运算意义和运算方法,解答即可
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