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课时作业(十三)第13讲变化率与导数、导数的运算时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.函数y=1x+cos x的导数是()A.y=1x2-sin xB.y=-1x2-sin xC.y=1x2+cos xD.y=1x2-cos x2.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.33.如果曲线y=x4-x在点P处的切线垂直于直线y=-13x,那么点P的坐标为()A.(1,0)B.(0,-1)C.(0,1)D.(-1,0)4.2018焦作模拟 已知f(x)=xln x+f(1)x,则f(1)=()A.1B.12C.2D.e5.2019重庆巴蜀中学月考 已知函数f(x)=x3+ax+1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(-1,1),则a=.能力提升6.如图K13-1为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图像,那么y=f(x),y=g(x)的图像可能是()图K13-1ABCD 图K13-27.若直线y=x+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),则b+2c=() A.4B.3C.2D.18.过点(0,1)且与曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A.2x+y-1=0B.x-2y+2=0C.x+2y-2=0D.2x-y+1=09.2018广东六校联考 设函数f(x)=cos(3x+),其中常数满足-0.若函数g(x)=f(x)+f(x)(其中f(x)是函数f(x)的导数)是偶函数,则等于()A.-3B.-56C.-6D.-2310.曲线y=2ln x上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值为()A.5B.25C.35D.211.2018四平质检 在等比数列an中,a1=2,a8=4,若函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f(0)=.12.已知函数f(x)=x+ax+b(x0)的图像在点(1,f(1)处的切线方程为y=2x+5,则a-b=.13.2018南昌二模 已知f(x)=4ln x-x2,若曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线与曲线y=x2-3x+m相切,则m的值是.14.(12分)已知函数f(x)=x3-4x+2及其图像上一点M(1,-1).(1)若直线l1与函数f(x)的图像相切于点M(1,-1),求直线l1的方程;(2)若函数f(x)的图像的切线l2经过点M(1,-1),但M不是切点,求直线l2的方程.15.(13分)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(xR)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围;(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.难点突破16.(5分)已知函数f(x)=ln(x+1),0x4,1-2x,-2x0,若函数f(x)的图像与直线y=kx+k有3个交点,则实数k的取值范围是()A.0,1eB.0,12eC.12e,ln55D.ln55,1e17.(5分)已知f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=.课时作业(十三)1.B解析 函数y=1x+cos x,y=1x+(cos x)=-1x2-sin x.2.D解析 对函数求导得y=a-1x+1, 因为点(0,0)在曲线上,且切线方程为y=2x,所以a-1=2,所以a=3.3.A解析 设点P(a,b),则b=a4-a,由题得y=4x3-1.因为曲线y=x4-x在点P处的切线垂直于直线y=-13x,所以4a3-1=3,所以a=1.所以b=14-1=0,所以点P的坐标为(1,0).4.B解析 f(x)=1+ln x-f(1)x2,令x=1,得f(1)=1-f(1),解得f(1)=12.5.-5解析 函数f(x)=x3+ax+1的导数为f(x)=3x2+a,f(1)=3+a,又f(1)=a+2,切线方程为y-a-2=(3+a)(x-1).又切线经过点(-1,1),1-a-2=(3+a)(-1-1),解得a=-5.6.D解析 由题意知y=f(x)与y=g(x)的图像在x=x0处相交,则有f(x0)=g(x0),这说明y=f(x)与y=g(x)的图像在x=x0处的切线的斜率相同,经比较只有选项D符合.7.B解析 y=x3+bx2+c的导数为y=3x2+2bx.直线y=x+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),3+2b=1,2=1+b+c,解得b=-1,c=2,b+2c=-1+4=3,故选B.8.D解析 y=x+1x-1,y=-2(x-1)2,当x=3时,y=-12,即曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线斜率为-12,所求直线的斜率为2.直线过点(0,1),所求直线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.9.A解析 由题意得g(x)=f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)=2cos3x+3,函数g(x)为偶函数,+3=k,kZ.又-0,=-3.故选A.10.A解析 设与直线2x-y+3=0平行且与曲线y=2ln x相切的直线方程为2x-y+m=0.设切点为P(x0,y0),y=2x,2x0=2,解得x0=1,因此y0=2ln 1=0,切点P的坐标为(1,0),则点P到直线2x-y+3=0的距离d=|2-0+3|22+(-1)2=5,曲线y=2ln x上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值是5.11.212解析 函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a8)+x(x-a1)(x-a2)(x-a8),f(0)=a1a2a8=(a1a8)4=84=212.12.-8解析 f(x)=x+ax+b,f(x)=1-ax2,f(1)=1-a=2,a=-1.f(1)=1+a+b=7,b=7,则a-b=-1-7=-8.13.134解析 因为f(x)=4ln x-x2,所以f(x)=4x-2x,所以f(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线方程为y+1=2(x-1),即y=2x-3.由y=2x-3,y=x2-3x+m,得x2-5x+m+3=0,因为直线与曲线相切,所以=25-4(m+3)=0,解得m=134. 14.解:(1)f(x)=3x2-4,f(1)=-1,所以直线l1的斜率k1=-1,所以直线l1的方程为y+1=-(x-1),即x+y=0.(2)设切点坐标为(x0,f(x0),x01,则切线l2的方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).因为直线l2经过点M(1,-1),所以-1-f(x0)=f(x0)(1-x0),其中f(x0)=x03-4x0+2,f(x0)=3x02-4,于是-1-(x03-4x0+2)=(3x02-4)(1-x0),整理得2x03-3x02+1=0,即(x0-1)2(2x0+1)=0,又x01,所以x0=-12.所以切点为-12,318,直线l2的斜率k2=f-12=-134,所以直线l2的方程为y-318=-134x+12,即y=-134x+94.15.解:(1)由题意得f(x)=x2-4x+3,则f(x)=(x-2)2-1-1,即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0),则由题意并结合(1)中结论可知k-1,-1k-1,解得-1k0或k1,则-1x2-4x+30或x2-4x+31,解得x(-,2-2(1,3)2+2,+).16.D解析 作出f(x)的图像与直线y=k(x+1),如图所示.易知直线y=k(x+1)过定点A(-1,0),斜率为k.当直线y=k(x+1)与曲线y=ln(x+1)(0x4)相切时是一个临界状态.设切点为(x0,y0),则k=1x0+1,k(x0+1)=ln(x0+1),解得x0=e-1,k=1e.又函数f(x)的图像过点B(4,ln 5),所以kAB=ln54-(-1)=ln55,由图可知ln55k1e.故选D. 17.e解析 由f(x)=aln x+x,得f(x)=ax+1,f(a)=2,又f(a)=aln a+a,f(x)的图像在x=a处的切线方程为y-(aln a+a)=2(x-a).该切线过原点,0-(aln a+a)=2(0-a),整理得ln a=1,a=e.
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