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广东省湛江市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解答：U=xN|x6=0,1,2,3,4,5，P=2,4,Q=1,3,4,6，CUP=0,1,3,5，(UP)Q=1,3.故选：C.2.棱柱的侧面一定是（）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形【答案】A【解析】根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.3.直线x-y+1=0的倾斜角的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线方程可求斜率，从而可得倾斜角【详解】设直线x-y+1=0的倾斜角为，则tan=，0，180）=60，故选：B【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为单调递增函数，且，所以由零点存在定理得零点所在的区间为点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断5.已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由指数函数的性质可得：，即：.本题选择D选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小6.已知直线l的方程为x-y+1=0，直线l1的方程为ax-2y+1=0，直线l2的方程为x+by+3=0，若l1l，l2l，则a+b=（）A. B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意，由直线垂直的判定方法可得a+2=0，解可得a=-2，又由直线平行的判定方法可得b的值，将a、b相加即可得答案【详解】根据题意，若l1l，则有a+2=0，解可得a=-2， 又由l2l，则b=1（-1）=-1； 则a+b=（-2）+（-1）=-3； 故选：B【点睛】本题考查直线平行、直线垂直的判定方法，关键是求出a、b的值，属于基础题7.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，那么高考点：圆锥的面积8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C【解析】试题分析：若，则直线与可能平行或异面，A错误；若，且，则直线与可能平行或相交或异面，B错误；若，则，由于垂直于同一平面的两条直线互相平行，C正确；选C.考点：空间直线与平面的位置关系；9.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A. 8 B. 4 C. 2 D. 4【答案】C【解析】由题设可得圆的圆心坐标为，半径为，因圆心到直线x-y+4=0的距离，故直线过圆心，则弦长是直径，应选答案C。10.已知函数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时，则；当时，则，综上，实数的取值范围是.考点：分段函数.11.已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 kkPB或 kkPA，即，或，或k-4，考点：恒过定点的直线12.已知偶函数f（x）在区间0，+）上单调递增，则满足f（2x-1）f（3）的x的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|），从而将f（2x-1）f（3）转化成f（|2x-1|）f（|3|），然后根据函数的单调性建立关系式，解之即可【详解】f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|） f（2x-1）=f（|2x-1|），即f（|2x-1|）f（|3|） 又f（x）在区间0，+）单调递增 得|2x-1|3解得-1x2 故选：A【点睛】本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识，并考查了如何解不等式，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为_【答案】【解析】函数，解得，函数的定义域是，故答案为.14.已知点A（4，5），B（6，1），则以线段AB为直径的圆的方程为 【答案】（x1）2+（y+3）2=29【解析】试题分析：由中点坐标公式得线段的中点坐标为，即圆心的坐标为；，故所求圆的方程为：故答案为：考点：圆的标准方程.【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程，注重对基础的考查，难度不大；由点和点的坐标，利用中点坐标公式求出线段的中点的坐标，因为线段为所求圆的直径，所以求出的中点的坐标即为圆心坐标，然后由圆心的坐标和点的坐标，利用两点间的距离公式求出的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可15.直线（m+1）x+（m-1）y-2=0与圆（x-1）2+y2=1的位置关系是_【答案】相交或相切【解析】【分析】先求出直线经过的定点（1，-1），再说明定点在圆上，故而可说明直线与圆相交或相切【详解】直线（m+1）x+（m-1）y-2=0可化为：（x+y）m+x-y-2=0由，得x=1，y=-1，即直线过定点（1，-1），而（1，-1）在圆（x-1）2+y2=1上，故直线与圆相交或相切，故答案为：相交或相切【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题16.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_【答案】【解析】由主视图知CD平面ABC，设AC中点为E，则BEAC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在中,BC=，在中,BD=，在中,AD=则三棱锥中最长棱的长为故答案为：【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知ABC的顶点A的坐标为（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0（）求顶点C的坐标；（）求直线AB的方程【答案】（）（4，3）； （）2x-3y-7=0.【解析】【分析】（）通过AC边上的高线方程得AC的斜率，由点斜式得AC的方程，AC的方程与CM的方程联立得点C的坐标； （）设出点B的坐标，根据中点关系，得M的坐标代入CM的方程，B点坐标代入BH方程，两个方程联立可解得B的坐标，再由两点式得AB的方程【详解】（）AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，直线AC的斜率k=-2，直线AC的方程为y-1=-2（x-5），即：2x+y-11=0，直线AC与CM相交于点C，由解得：点C的坐标为（4，3）；（）设B（x1，y1），M是AB中点，且A（5，1），点M的坐标为代入CM所在直线方程2x-y-5=0并化简得：2x1-y1-1=0，又点B（x1，y1）在直线BH上，x1-2y1-5=0由解得：点B的坐标为（-1，-3）直线AB的方程为，即：2x-3y-7=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线的性质，属中档题18.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点求证：（1）ACBC1；（2）AC1平面B1CD【答案】（1）（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，即可证得ACBC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，ODAC1，而AC1平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，CC1AC，又ACBC，BCCC1=C，AC平面BCC1B1ACBC1（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，OD是三角形ABC1的中位线，ODAC1，又AC1平面B1CD，OD平面B1CD，AC1平面B1CD考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系19.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【答案】（1）； （2）每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元.【解析】【分析】（1）函数y=f（x）=出租自行车的总收入-管理费；当x6时，全部租出；当6x20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式； （2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值【详解】（1）当x6时，y=50x-115，令50x-1150，解得x2.3xN，x3，3x6，且xN当6x20时，y=50-3（x-6）x-115=-3x2+68x-115综上可知（2）当3x6，且xN时，y=50x-115是增函数，当x=6时，ymax=185元当6x20，xN时，y=-3x2+68x-115=，当x=11时，ymax=270元综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元【点睛】本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，是基础题20.已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。【答案】（）（）见解析（）【解析】（1），设圆的方程是令，得；令，得，即：的面积为定值（2）垂直平分线段，直线的方程是，解得：当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去圆的方程为21.如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2（）求证：AC平面ABB1A1；（）求点D到平面ABC1的距离d【答案】（）见解析； （）.【解析】【分析】（I）利用勾股定理逆定理证明ACAB，结合ACAA1可得AC平面ABB1A1（II）根据列方程解出d【详解】（）证明：在底面ABCD中，AB=1，BC=2，BC2=AC2+AB2，即ABAC，侧棱AA1底面ABCD，AC平面ABCD，AA1AC，又AA1AB=A，AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，AC平面ABB1A1（）连接DB，DC1，由（）知ABC为直角三角形，且，SABD=SABC=，又侧棱CC1底面ABCD，ABAC，ABCC1，ACCC1=C，AB平面ACC1，且AC1平面ACC1，ABAC1，又，=，解得【点睛】本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题22.已知函数.（1）若，求的值域；（2）若存在实数，当，恒成立，求实数的取值范围.【答案】答案见解析【解析】试题分析：(1)结合二次函数的性质分类讨论可得：当时，的值域为.当时，的值域为；当时，的值域为.(2)原问题即恒成立.构造二次函数，则，再次构造函数，结合二次函数的性质可得的取值范围为.试题解析：（1）由题意得，当时，此时的值域为.当时，此时的值域为；当时，此时的值域为.（2）由恒成立得恒成立.令，因为抛物线的开口向上，所以由恒成立知化简得令，则原题可转化为：存在，使得.即当时，.，的对称轴为，当，即时，解得；当，即时，.解得.综上，的取值范围为.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数yax2bxc(a0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值、二次方程ax2bxc0(a0)的根是同一个问题解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决
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