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第一讲,函数的图象与性质,【,知识回顾,】,1.,函数的性质,(1),单调性,:,对于函数,y=,f(x,),定义域内某一区间,D,上的任意,x,1,x,2,(x,1,-x,2,)f(x,1,)-f(x,2,)0(0(0),或向,_(a0),或向,_(a0,且,a1),的单调性时,不讨论底数的取值,;,忽略,a,x,0,的隐含条件,;,幂函数的性质记忆不准确,.,【,考题回访,】,1.(2016,全国卷,),函数,y=2x,2,-e,|x|,在,-2,2,上的图象大致为,(,),【,解析,】,选,D.f(2)=8-e,2,8-2.8,2,0,f(2)=8-e,2,8-2.7,2,0,时,f(x,)=2x,2,-e,x,f(x)=4x-e,x,当,x,时,f(x,)b1,，,0c1,，则,(,),A.a,c,b,c,B.ab,c,ba,c,C.alog,b,c,blog,a,c,D.log,a,c,log,b,c,【,解析,】,选,C.,对,A,：由于,0cb1,a,c,b,c,，,A,错误,.,对,B,：由于,-1c-1b1,a,c-1,b,c-1,ba,c,1),，,则,f(x,)=lnx+110,，,f(x,),在,(1,，,+),上单调递增，,因此,f(a,),f(b,)0,alna,blnb,0,又由,0c1,得,lnc,alog,b,c,，,C,正确,.,对,D,：要比较,log,a,c,和,log,b,c,，只需比较,而函数,y=,lnx,在,(1,，,+),上单调递增，故,ab1,lna,lnb,0,又由,0c1,得,lnc,log,b,c,，,D,错误,.,3.(2016,全国卷,),下列函数中,其定义域和值域分别,与函数,y=10,lgx,的定义域和值域相同的是,(,),A.y,=x,B.y,=,lgx,C.y,=2,x,D.y,=,【,解析,】,选,D.y,=10,lgx,=x,其定义域与值域均为,(0,+,).,函数,y=x,的定义域和值域都是,R;,函数,y=,lgx,的定义域为,(0,+,),值域为,R;,函数,y=2,x,的定义域为,R,值域为,(0,+,);,函数,y=,的定义域与值域均为,(0,+,).,热点考向一,函数的概念及其表示,命题解读,:,主要考查函数的定义域、值域的求法,以函数为载体,考查求函数值或已知函数值,(,大小,),求字母的值,(,或取值范围,),等,以选择题、填空题为主,.,【,典例,1】,(1)(2015,全国卷,),设函数,f(x,)=,f(-2)+f(log,2,12)=,(,),A.3B.6C.9D.12,(2)(2016,蚌埠一模,),函数,f(x,)=lg(x-1)+,的定,义域为,_.,【,解题导引,】,(1),根据自变量的不同取值,适当选取分段函数的表达式,代入即可求值,.,(2),根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可,.,【,规范解答,】,(1),选,C.,由已知得,f(-2)=1+log,2,4=3,又,log,2,121,所以,f(log,2,12)=,故,f(-2)+f(log,2,12)=9.,(2),由题意得,:,解得,:1x0,a1),的定义域,和值域都是,(0,1,则,=,(,),A.1B.2C.3D.4,【,解析,】,选,C.,当,x=1,时,y=0,则函数为减函数,故,a1,则当,x=0,时,y=1,则,y= =1,即,a-1=1,则,a=2,则,2.,已知函数,f(x,)=,则,f(f(-4)=_.,【,解析,】,函数,f(x,)=,则,f(f(-4)=f(2,4,)= =4.,答案,:,4,【,加固训练,】,1.(2016,湖州一模,),已知函数,f(x,)=|x-1|,则下列函数与,f(x,),相等的函数是,(,),【,解析,】,选,B.,函数,f(x,)=|x-1|,的定义域为,R,选项,A:g(x,)=,的定义域为,x|x-1,选项,B:g(x,)=,且定义域也为,R,故,相等,;,选项,C:g(x,)=,与,f(x,),的对应关系不同,;,选项,D:g(x,)=x-1,的对应关系与,f(x,),的对应关系不同,.,2.(2016,石嘴山一模,),已知函数,f(x,)=,则,的值是,_.,【,解析,】,答案,:,热点考向二,函数的图象及应用,命题解读,:,主要考查利用函数的解析式选择图象,利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象来研究函数的性质,(,特别是单调性、最值、零点,),、方程解的问题以及解不等式、比较大小等,以选择题、填空题为主,.,【,典例,2】,(1)(2016,浙江高考,),函数,y=sinx,2,的图象是,(,),(2)(2016,合肥一模,),函数,y=2,|x|,的定义域为,a,b,值域为,1,16,当,a,变动时,函数,b=,g(a,),的图象可以是,(,),【,解题导引,】,(1),根据函数奇偶性的性质和最值进行判断排除即可,.,(2),根据,a,变动时,以及函数的值域可知,b,为定值,4,结合选项即可得到答案,.,【,规范解答,】,(1),选,D.,因为,sin(-x),2,=sinx,2,所以函数,y=sinx,2,是偶函数,即函数的图象关于,y,轴对称,排除,A,C;,当,x,2,= ,即,x=,时,y,max,=1,排除,B.,(2),选,B.,根据选项可知,a0,a,变动时,函数,y=2,|x|,的定义,域为,a,b,值域为,1,16,所以,2,|b|,=16,|b|=4,又,b0,所以,b=4.,【,规律方法,】,1.,作函数图象的方法及注意点,(1),常用描点法和图象变换法,.(2),图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换,.(3),注意,y=,f(x,),与,y=,f(-x),y,=-,f(x),y,=-,f(-x),y,=,f(|x|),y,=|,f(x,)|,及,y=,af(x)+b,的相互关系,.,2.,由函数解析式识别函数图象的策略,3.,函数图象的应用,(1),判定函数的性质,.(2),判定方程根的个数及不等式的解,【,题组过关,】,1.(2016,揭阳二模,),函数,f(x,)=(1+cosx)sinx,在,-,的图象的大致形状是,(,),【,解析,】,选,A.,由,f =1,可排除,C,D,由,可排,除,B.,2.,如图,把圆周长为,1,的圆的圆心,C,放在,y,轴上,顶点,A(0,1),一动点,M,从点,A,开始逆时针绕圆运动一周,记,=x,直线,AM,与,x,轴交于点,N(t,0),则函数,t=,f(x,),的,图象大致为,(,),【,解析,】,选,D.,当,x,由,0,时,t,从,-,0,且单调递增,当,x,由,1,时,t,从,0,+,且单调递增,所以排除,A,B,C.,【,加固训练,】,1.(2016,赤峰一模,),如图可能是下列哪个函数的图象,(,),【,解析,】,选,C.,对于选项,A,x,=1,显然是函数的零点,此外,f(4),f(5)0,且,x,1,与图象不符,.,2.,函数,f(x,)=,的图象可能是,(,),【,解析,】,选,A.,若使函数,f(x,)=,的解析式有意义,则,即函数,f(x,)=,的定义域为,(-2,-1),(-1,+,),可排除,B,D;,当,x,(-2,-1),时,sinx,0,ln(x+2)0,可排除,C.,热点考向三,函数的性质及其应用,命题解读,:,主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,考查函数的取值范围、比较大小等,一般为选择题、填空题,.,命题角度一确定函数的单调性,(,区间,),、奇偶性、周,期性、最值及对称性,【,典例,3】,(2016,泉州一模,),已知函数,f(x,)=,则下列结论正确的是,(,),A.f(x,),是偶函数,B.f(x,),是增函数,C.f(x,),是周期函数,D.f(x,),的值域为,-1,+),【,解题导引,】,利用偶函数、增函数、周期函数的定义及求,f(x,),的值域的方法逐个选项验证,.,【,规范解答,】,选,D.,因为,f(,)=,2,+1,f(-)=-1,所以,f(-)f(,),所以函数,f(x,),不是偶函数,排除,A;,因为函数,f(x,),在,(-2,-),上单调递减,排除,B;,函数,f(x,),在,(0,+),上单调递增,所以函数,f(x,),不是周期函数,排除,C;,因为,x0,时,f(x,)1,x0,时,-1f(x)1,所以函数,f(x,),的值域为,-1,+).,【,母题变式,】,1.,若把条件,“,cosx,”,变为,“,-x,2,+1,”,则结论正确的是,(,),A.f(x,),是偶函数,B.f(x,),是增函数,C.f(x,),是周期函数,D.f(x,),的值域为,-1,+),【,解析,】,选,B.,因为,f(x,)=x,2,+1,在,(0,+,),上递增,而,f(x,),=-x,2,+1,在,(-,0,上也递增,故,f(x,),在,R,上为增函数,.,2.,若条件不变,试求该函数的单调递增区间,.,【,解析,】,当,x0,时,单调递增区间为,(0,+,),当,x0,时,要使函数为递增函数,只需,x(2k-,2k(kZ,且,k0),所以该函数的单调递增区间为,(0,+),(2k-,2k,(kZ,且,k0).,命题角度二函数性质的应用,【,典例,4】,(2016,全国卷,),已知函数,f(x)(xR,),满足,f(x,)=f(2-x),若函数,y=|x,2,-2x-3|,与,y=,f(x,),图象的交点,为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),(,x,m,y,m,),则,=,(,),A.0,B.m,C.2mD.4m,【,解题导引,】,由,f(x,)=f(2-x),可得出函数,y=,f(x,),的图象关于,x=1,对称,画出函数,y=|x,2,-2x-3|,的图象,可知其图象关于,x=1,对称,结合图象利用函数对称解题,.,【,规范解答,】,选,B.,因为,y=,f(x),y,=|x,2,-2x-3|,的图象都,关于,x=1,对称,所以它们的交点也关于,x=1,对称,.,当,m,为偶,数时,其和为,2,=m;,当,m,为奇数时,说明有一个交点为,(1,4),其和为,2,+1=m,综上,=m.,【,规律方法,】,1.,判断函数单调性的常用方法,数形结合法、结论法,(,增,+,增得增、减,+,减得减及复合函数的同增异减,),、定义法和导数法,.,2.,判断函数是奇,(,偶,),函数的关注点,必须对定义域内的每一个,x,均有,f(-x,)=-,f(x)(f(-x,),=,f(x,),而不能说存在,x,0,使,f(-x,0,)=-f(x,0,)(f(-x,0,)=,f(x,0,).,3.,求函数最值的常用方法,数形结合法、单调性法、基本不等式法、导数法和换元法,.,4.,判断函数周期性的方法,定义法和结论法,.,5.,函数三个性质的应用,(1),奇偶性,:,具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分,(,一半,),区间上,.,尤其注意偶函数,f(x,),的性质,:,f(|x,|)=,f(x,).,(2),单调性,:,可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性,.,(3),周期性,:,利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解,.,【,题组过关,】,1.(2015,全国卷,),设函数,y=,f(x,),的图象与,y=2,x+a,的图象关于直线,y=-x,对称,且,f(-2)+f(-4)=1,则,a=,(,),A.-1B.1C.2D.4,【,解析,】,选,C.,因为函数,y=,f(x,),的图象与,y=2,x+a,的图象关于直线,y=-x,对称,所以,-x=2,-y+a,解得,f(x,)=-log,2,(-x)+a,又,f(-2)+f(-4)=1,所以,-log,2,2-log,2,4+2a=1,解得,a=2.,2.(2015,全国卷,),设函数,f(x,)=ln(1+|x|)- ,则,使得,f(x,)f(2x-1),成立的,x,的取值范围是,(,),【,解析,】,选,A.f(x,),是偶函数,且在,0,+,),上是增函数,所以,f(x,)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|)|x|2x-1|, x1.,3.(2016,朔州一模,),已知定义在,R,上的函数,f(x,),满足,f(x-1)=f(x+1),且当,x-1,1,时,f(x,)= ,则,(,),A.f(-3)f(2)f,B.f,f(-3)f(2),C.f(2)f(-3)f D.f(2)f f(-3),【,解析,】,选,D.,因为,f(x-1)=f(x+1),所以,f(x,)=f(x+2),即函数的周期是,2,当,x-1,1,时,f(x,)=,则,f(-x,)= =,f(x,),则函数,f(x,),为偶函数,当,0x1,时,函数,y=x,为增函数,y=1-,也为增函数,则函数,f(x,)=,在,0x0,时,f(x,)=2,x,+1,则,f(-2),等于,_.,【,解析,】,因为,f(x,),为偶函数,所以,f(-2)=f(2)=2,2,+1=5.,答案,:,5,4.(2016,安阳一模,),定义在,R,上的奇函数,f(x,),满足当,x0,时,f(x,)=log,2,(x+2)+(a-1)x+b(a,b,为常数,),若,f(2)=-1,则,f(-6),的值为,_.,【,解析,】,因为函数,f(x,),为定义在,R,上的奇函数,所以,f(0)=1+b=0,解得,:b=-1,所以当,x0,时,f(x,)=log,2,(x+2)+(a-1)x-1,因为,f(2)=-1,所以,f(2)=2+2(a-1)-1=-1,所以,a=0,所以,f(x,)=log,2,(x+2)-x-1,所以,f(-6)=-f(6)=4.,答案,:,4,5.(2016,衡阳一模,),已知函数,f(x,)=,若关于,x,的不等式,f(x,),的解集为,则实数,a,的,取值范围是,_.,【,解析,】,因为函数,f(x,)=,关于,x,的不等式,f(x,),的解集为,所以当,x0,时,f(x,)=,x(a-x,) +x,在,x-2 .,答案,:,a-2,
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