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4.解析几何1.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，直线l与椭圆交于两点，64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0.设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，k2，整理得km(x1x2)m20，m20，又m0，k2，结合图象(图略)可知k，故直线l的斜率为定值.2.已知抛物线：x22py(p0)，直线y2与抛物线交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|4.(1)求抛物线在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求QMN面积的最大值.解(1)由x22py，令y2，得x2，所以44，解得p3，所以x26y，由y，得y，故y|x2.所以在A点的切线方程为y2(x2)，即2xy20，同理可得在B点的切线方程为2xy20.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x26y与ykxm联立，得x26kx6m0，36k224m0，所以x1x26k，x1x26m，故|MN|2.又y1y2k(x1x2)2m6k22m4，所以m23k2，所以|MN|2，由36k224m0，得k且k0.因为MN的中点坐标为(3k,2)，所以MN的垂直平分线方程为y2(x3k)，令x0，得y5，即Q(0,5)，所以点Q到直线kxy23k20的距离d3，所以SQMN233.令1k2u，则k2u1，则1u，故SQMN3.设f(u)u2(73u)，则f(u)14u9u2，结合1u0，得1u；令f(u)0，得ub0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PFx轴时，|AF|2|PF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；(3)记圆O：x2y2为椭圆C的“关联圆”.若b，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：为定值.(1)解由PFx轴，知xPc，代入椭圆C的方程，得1，解得yP.又|AF|2|PF|，所以ac，所以a2ac2b2，即a22c2ac0，所以2e2e10，由0eb0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|PN|)，若SPAMSPBN，求实数的取值范围.解(1)因为BF1x轴，得到点B，所以解得所以椭圆C的标准方程是1.(2)因为，所以(2)，所以.由(1)可知P(0，1)，设MN方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k23)x28kx80，0恒成立，即得(*)又(x1，y11)，(x2，y21)，有x1x2，将x1x2代入(*)可得，.因为k，所以(1,4)，则122，即得442.综上所述，实数的取值范围为(4,42).
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