ppt41第四章逻辑函数及其简化.ppt

无论是数字仪表 还是计算机 其内部功能比较复杂 但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成 在这些电子电路中多数是数字逻辑电路 数字逻辑电路 用逻辑函数进行描述的电路 输入 输出具有一定的逻辑关系 条件 结果 实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路 描述输出 输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式 逻辑电路的输出 输入量 都用数字量表示 实现逻辑关系的电子电路通称为门电路 数字逻辑电路特点 第四章逻辑函数及其简化 逻辑代数 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具 因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性 逻辑代数和普通代数又有什么异同之处 逻辑代数和普通代数的区别 共同点 都用字母A B C 等表示变量 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序 先括号 其次乘 最后加 不同点 这些变量A B C的取值范围是0和1 其运算规则是按逻辑规则来定义的 0 1不再表示数量的大小 只代表不同的逻辑状态 逻辑代数中的三种基本运算 在逻辑代数中 0和1不再表示数量的大小 只代表两种不同的逻辑状态 逻辑代数也用字母表示变量 这种变量称为逻辑变量 在二值逻辑中 每个逻辑变量的取值只有0和1两种 逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计 逻辑代数也用字母表示变量 这种变量称为逻辑变量 在二值逻辑中 每个逻辑变量的取值只有0和1两种 在逻辑代数中 0和1不再表示数量的大小 只代表两种不同的逻辑状态 逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计 一 基本逻辑运算 与 或 非三种 为了便于理解基本逻辑关系的基本含义 先通过一些简单例子作一说明 1 与 运算及与门 逻辑与的概念 若决定一件事的所有条件都成立 这件事的结果就会发生 否则这件事就不会发生 这样的逻辑关系称为 逻辑与 逻辑乘 或称为 与 运算 能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路 逻辑代数中的三种基本运算 开关断开为0 开关闭合为1 灯亮为1 灯不亮为0 假设 用四个式子表示 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 与逻辑的表示方法 四种 真值表 将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来 列成表格 即可得到真值表 逻辑表达式 把输出与输入之间的逻辑关系写出与运算的逻辑代数式 即为逻辑表达式 F A B 用串连开关电路简单说明与逻辑关系 A B 有0为0全1为1 工作波形图 把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示 即为工作波形图 有0为0 全1为1 逻辑图 符号 将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示 即为逻辑图 把实现与逻辑运算的单元电路叫做与门 用串连开关电路简单说明与逻辑关系 逻辑或的概念 决定某一件事的诸条件中 只要有一个或一个以上的条件满足 这件事的结果就会发生 否则结果不会发生 这样的逻辑关系称为 逻辑或 逻辑加 或称为 或 运算 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 假设 开关闭合为1 开关断开为0 灯亮为1 灯不亮为0 用四个式子表示 用并联开关电路简单说明或逻辑关系 或逻辑的表示方法 2 或 运算及或门 真值表 工作波形图 逻辑图 符号 逻辑表达式 F A B 把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门 有1为1全0为0 或 运算及或门 1 逻辑非的概念 条件具备了 结果不会发生 条件不具备 结果一定发生 AF0110 逻辑表达式 工作波形 逻辑符号 开关闭合为1开关断开为0灯亮为1灯不亮为0 假设 把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门 3 非 运算及非门 逻辑运算 逻辑符号 真值表 基本运算规则 与 逻辑表达式 或 非 三种基本逻辑运算小结 实际的逻辑问题比与 或 非复杂得多 利用这三种基本逻辑关系 可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑 如与非 或非 与或非 异或 同或逻辑等 1 与非逻辑 与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合 它是将输入变量先进行与运算 然后再进行非运算 与非逻辑表达式 与非门逻辑符号 能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门 二 复合逻辑运算 A F B 与非门真值表 有0为1 全1为0 与非门运算顺序是 先与后非 即 当输入A B中 只要有一个0 输出就是1 只有输入全为1时 输出才是0 工作波形图 与非逻辑 或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合 它是将输入变量先进行或运算 然后再进行非运算 能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门 或非逻辑表达式 或非门逻辑符号 或非门真值表 或非门运算顺序是 先或后非 有1为0 全0为1 即 当输入A B中 只要有一个1 输出就是0 只有输入全为0时 输出才是1 或非门工作波形 2 或非逻辑 1 F 与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合 它是将输入变量A B及C D先进行与运算 然后再进行或非运算 能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门 逻辑符号 与或非门真值表 工作波形图 逻辑表达式 每组有0为1 某组全1为0 3 与或非门 F A B为两个单刀双掷开关 灯亮的条件是 一个开关打在上面 另一个开关打在下面 两个开关同时打在上面或者下面 则灯不亮 假设 开关打在上面为1开关打在下面为0 灯亮为1灯灭为0 真值表 由真值表写出逻辑表达式 取F 1列与项逻辑式 对任何一种输入变量组合 变量之间是 与 运算 如果输入变量是 1 记原变量 如果输入变量是 0 记反变量 各组合之间是 或 逻辑关系 异或运算特点 相异为1 相同为0 4 异或门 异或逻辑符号 异或逻辑基本运算规律 0 0 01 1 01 0 0 1 1 推论 异或门工作波形图 异或逻辑 F 假设 开关打在上面为1开关打在下面为0 灯亮为1灯灭为0 灯亮的条件是 两个开关均打在上面 或均打在下面 同或运算特点 相同为1 相异为0 同或逻辑符号 同或逻辑和异或逻辑互为反函数 同或逻辑真值表 同或逻辑表达式 5 同或门 1 逻辑函数间的相等 设有两个逻辑函数 F f A1A2 An G g A1A2 An 看出 F和G都是变量A1A2 An的逻辑函数 如果 2n种组合中每一状态组合F和G值相同 则称为F和G相等 记作F G 如果F G 其真值表相同 反之 F和G真值表相同 F一定等于G 因此 要证明两个逻辑函数相等 只需列出真值表 若真值表相同 那么这两个函数一定相等 三 逻辑代数的基本定律和规则 例 设 证明F G 证 1 列出F和G的真值表 从真值表中可以看出 每一种组合F和G都相等 所以F G 即 F和G是同一逻辑的两种不同表达式 逻辑代数的基本定律和规则 00 00 00 00 11 00 11 11 2 实现F和G的逻辑电路图 两种不同的电路形式 表示同一种逻辑功能 将运算符号变为逻辑符号 逻辑代数的基本定律和规则 1 A B C A B C 2 逻辑代数的基本公式 两点说明 1 乘法运算中乘号 可以省略 A B可写为AB 2 运算顺序 先括号 再算乘 最后加 这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律 其正确性都可以利用真值表加以验证 例 证明反演率 从真值表中看出 逻辑代数的基本公式 1 代入规则 任何一个含变量A的等式中 如果将出现A的地方 都代之一个逻辑函数F 则等式仍然成立 例1 分配率A B C AB AC 令 C EF代入公式 A B EF 证 A B EF 用乘对加的分配率证明 例2 则 令 A CD 证 代入规则之所以正确 是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样 只有两种可能取值 0 1 所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待 3 三个规则 AB AEF AB AEF 有了代入规则 基本定律不受变量限制 扩大了基本公式的应用范围 2 反演规则 摩根定理 目的 求原函数的反函数 已知函数为F 将F中的所有 换为 换为 0换为1 1换为0 原变量换为反变量 反变量换为原变量 得到的函数式就是原函数的反函数 或称为补函数 记作 例1 已知 解 由反演规则直接得出 由反演率得 2 在运算过程中适当增加括号 以保证原函数的运算顺序不变 本例说明 1 由反演规则求反函数 比直接用反演率求反函数方便 简单 三个规则 例2 已知 解 利用反演规则直接写出 注意 不属于单个变量上的反号保持不变 3 对偶规则 对偶式 已知函数为F 将F中的所有 换为 换为 0换为1 1换为0 变量保持不变 得到的函数式就是原函数的对偶式F 例 首先了解什么是对偶式 三个规则 对偶规则 如果两个函数F和G相等 那么它们各自的对偶式F 和G 也相等 例 F A B C 由乘对加的分配率知 F A BC 由加对乘的分配率知 G A B A C G AB AC F A B C AB AC F G F G F A BC A B A C 三个规则 掌握对偶规则的目的 当证明某一等式相等后 根据对偶规则 其对偶式也相等 使证明的式子数目减少一半 起到事半功倍的效果 目的 要求学会证明函数相等的方法 运用逻辑代数的基本定律 得出一些常用公式 吸收律 互补率 说明 两个乘积项相加时 若乘积项分别包含B和 B两个因子 而其余因子相同 则两项定能合并成一项 消去B和 B两个因子 说明 两个乘积项相加时 其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补 A 则该乘积项中的 A是多余的 吸收律 对偶式 对偶式 4 若干常用公式 包含律 推论 对偶式 证 若干常用公式 A BC A B A C 证 A B A C AA AC AB BC A AC AB BC A 1 C B BC A BC A B C AB AC 交叉互换率 对偶式 加对乘的分配率 对偶式 若干常用公式 常用逻辑函数表示方法有 1 逻辑真值表 2 逻辑表达式 3 逻辑图 各种表示方法间的相互转换 一 从真值表写出逻辑表达式 例 已知一个奇偶判别函数的真值表 偶为1 奇为0 试写出它的逻辑函数式 解 当ABC 011时 当ABC 101时 当ABC 110时 因此 Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和 4 工作波形图 5 逻辑函数的表示方法 通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法 1 找出真值表中使逻辑函数Y 1的输入变量取值组合 2 每组输入变量的取值组合对应一个乘积项 输入变量取值为1的写入原变量 取值为0的写入反变量 3 将取值为1的乘积项相加 即得到Y的逻辑函数式 二 从逻辑表达式列出真值表 将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式 求出函数值 列成表 即可得到真值表 例 已知函数 求其对应真值表 解 将三变量所有取值组合代入Y式中 将计算结果列表 逻辑函数的表示方法 三 从逻辑表达式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号 就可以画出逻辑图 例 已知逻辑函数 画出对应逻辑图 解 将式中所有的与 或 非运算符号用逻辑符号代替 并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来 就得到Y的逻辑图 逻辑函数的表示方法 四 从逻辑图写出逻辑表达式 从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式 就得到对应的逻辑表达式 例 已知逻辑图 试写出逻辑表达式 解 从输入A B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式 逻辑函数的表示方法 与 或式 与非 与非式 或 与式 或非 或式 或 与非式 逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现 任何一个逻辑函数都可以通过逻辑变换写成以下八种形式 八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能 与 或非式 与非 与式 或非 或非式 目的 为图解化简法打好基础 与项 逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 与 或表达式 与项和与项间只进行加运算的表达式称为与 或表达式 如 或项 逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项 或 与表达式 或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或 与表达式 如 在介绍逻辑函数的标准形式之前 先介绍最小项和最大项的概念 然后介绍逻辑函数的 最小项之和 及 最大项之积 两种标准形式 几个概念 四 逻辑函数的两种标准形式 1 定义 最小项是一个与项 2 特点 n个变量都出现 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次 且仅出现一次 称这个与项为最小项 n变量有2n个最小项 例如 在三变量A B C的最小项中 1 最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1 当A 1 B 0 C 1时 所对应的十进制数就是5 按照上述约定 作出三变量最小项编号表 原取1 反取0 一 最小项和最大项 3 最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项 而且仅有一个最小项的值为1 三变量最小项编号表 所有最小项之和为1 任意两个最小项的乘积为0 具有相邻性的两个最小项之和 可以合并成一项 并消去一对因子 相邻性 若两个最小项彼此只有一个因子不同 且互为反变量 则称这两个最小项具有相邻性 例 最小项和最大项 定理 任何逻辑函数F都可以用最小项之和的形式表示 而且这种形式是唯一的 1 真值表法 将逻辑函数先用真值表表示 然后再根据真值表写出最小项之和 例 将 表示为最小项之和的形式 解 由最小项特点知 n个变量都出现 BC缺变量A 所以F是一般与 或式 不是最小项之和的标准形式 列 F真值表 4 用最小项表示逻辑函数的方法 由最小项性质 知 每个最小项等于1的自变量取值是惟一的 那么 将F 1的输入变量组合相加即可 1表示原变量 0表示反变量 用最小项表示逻辑函数的方法 2 摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法 将其表示为最小项之和的形式 例1 解 原取1反取0 用最小项表示逻辑函数的方法 例2 将 表示为最小项之和的形式 解 说明 全部由最小项相加构成的与 或表达式称为最小项表达式 是与 或表达式的标准形式 都是最小项 不是全部最小项 用最小项表示逻辑函数的方法 1 定义 最大项是一个或项 2 特点 n个变量都出现 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次 且仅出现一次 称这个或项为最大项 n变量有2n个最大项 例如 在三变量A B C的最大项中 2 最大项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0 当A 1 B 0 C 1时 按照上述约定 作出三变量最大项编号表 如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数 并以其对应的十进制数给出最大项编号 原取0 反取1 最小项和最大项 3 最大项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最大项 而且仅有一个最大项的值为0 三变量最大项编号表 所有最大项之积为0 任意两个最大项之和为1 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和 例 4 用最大项表示逻辑函数的方法 定理 任何逻辑函数F都可以用最大项之积的形式表示 而且这种形式是惟一的 用最大项表示逻辑函数的方法有两种 真值表法 加对乘的分配率及配项法 最小项和最大项 一 真值表法 表示为最大项之积的形式 列 F真值表 解 把真值表中F 0的输入变量 以最大项的形式表示 输入0表示原变量 1表示反变量 既可以用最大项之积表示 又可以用最小项之和表示 比较函数F的最大项之积和最小项之和表达式 可以发现 只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式 加对乘的分配率 配项 代入规则 加对乘的分配率 合并项 二 加对乘的分配率及配项法 表示成最大项之积和最小项之和的形式 解 最大项原变量记做0 反变量记做1 最小项之和为 A B缺变量C A C缺变量B 由以上讨论可知 全部由最大项相乘构成的或 与表达式称为最大项的标准表达式 又称为标准或 与表达式 3 最小项与最大项之间的关系 脚号相同 互为反演 例1 例2 因子相同 互为对偶 求其对偶式 最小项与对偶项之和为15 3 最小项与最大项之间的关系 脚号相同 互为反演 例1 例2 因子相同 互为对偶 求其对偶式 最小项与对偶项之和为15