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第15讲曲线的切线1.(2018江苏盐城高三期中)已知集合A=1,3,6,B=1,2,则AB=.2.(2018江苏靖江高中阶段检测)已知集合A=x|x|0,命题p:1A,命题q:2A,若pq为真命题,pq为假命题,则a的取值范围是.3.关于x的方程x2+ax+2=0的两根都小于1,则实数a的取值范围为.4.(2018江苏海安高中高三阶段检测)一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为15,那么这个正三棱锥的体积是.5.离心率为2且与椭圆x225+y29=1有共同焦点的双曲线方程是.6.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.7.(2018江苏如皋高三上学期调研)如图,在四棱锥E-ABCD中,已知底面ABCD为平行四边形,AEBC,三角形BCE为锐角三角形,平面AEB平面BCE,F为CE的中点.求证:(1)AE平面BDF;(2)AE平面BCE.8.(2018南京、盐城高三模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=52b.(1)若C=2B,求cosB的值;(2)若ABAC=CACB,求cosB+4的值.答案精解精析1.答案1,2,3,6解析集合A=1,3,6,B=1,2,则AB=1,2,3,6.2.答案(1,2解析由pq为真命题,pq为假命题,得p,q中一真一假,若p真q假,则10,解得a22.4.答案9解析该正三棱锥的底面面积为3462=93,高h=15-3362=3,则该正三棱锥的体积是13933=9.5.答案x24-y212=1解析由题意知c=4,ca=2,a=2,则b2=c2-a2=12,则双曲线的标准方程为x24-y212=1.6.答案43解析设直线y=kx-2上一点P(x,kx-2),圆P与圆C:(x-4)2+y2=1有公共点,则PC2,即(x-4)2+(kx-2)24有解,即(1+k2)x2-(8+4k)x+160有解,所以判别式=-(8+4k)2-64(1+k2)0,化简得3k2-4k00k43,故k的最大值是43.7.证明(1)连接AC交BD于O,连接OF.在平行四边形ABCD中,对角线AC交BD于O,则O为AC的中点,又已知F为CE的中点,所以OF为AEC的中位线,所以AEOF,又OF平面BDF,AE平面BDF,所以AE平面BDF.(2)过C作BE的垂线,垂足为M,即CMBE;因为三角形BCE为锐角三角形,所以CM与CB不重合,因为平面AEB平面BCE,平面AEB平面BCE=BE,且CMBE,CM平面BCE,所以CM平面BCE,又AE平面AEB,所以CMAE,又已知AEBC,BCCM=C,BC,CM平面BCE,所以AE平面BCE.8.解析(1)因为c=52b,则由正弦定理,得sinC=52sinB.又C=2B,所以sin2B=52sinB,即4sinBcosB=5sinB.又B是ABC的内角,所以sinB0,故cosB=54.(2)因为ABAC=CACB,所以cbcosA=bacosC,则由余弦定理,得b2+c2-a2=b2+a2-c2,得a=c.从而cosB=a2+c2-b22ac=c2+c2-25c22c2=35,又0B,所以sinB=1-cos2B=45.从而cosB+4=cosBcos4-sinBsin4=3522-4522=-210.
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