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第17练直线与圆明晰考情1.命题角度：直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时主要考查求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度考点一直线的方程方法技巧(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性1已知直线l1：mxy10，l2：(m3)x2y10，则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析“l1l2”的充要条件是“m(m3)120m1或m2”，因此“m1”是“l1l2”的充分不必要条件2已知A(1,2)，B(2,11)，若直线yx1(m0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是()A2,0)3，) B(，1(0,6C2，13,6D2,0)(0,6答案C解析由题意得，两点A(1,2)，B(2,11)分布在直线yx1(m0)的两侧(或其中一点在直线上)，0，解得2m1或3m6，故选C.3过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则SAOB的最小值为_答案12解析依题意，设直线l的方程为1(a0，b0)点P(2,3)在直线l上，1，则ab3a2b2，故ab24，当且仅当3a2b(即a4，b6)时取等号因此SAOBab12，即SAOB的最小值为12.4若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_答案3解析依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：xy70和l2：xy50的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式，得，即|m7|m5|，解得m6，即l：xy60.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为3.考点二圆的方程方法技巧(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程5已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.6圆心在曲线y(x0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225答案A解析y的导数y，令2，得x1(舍负)，平行于直线2xy10的曲线y(x0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1,2)，以该点为圆心且与直线2xy10相切的圆的面积最小，此时圆的半径为.故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.7已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_答案(x2)2y29解析圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0.则圆心C到直线2xy0的距离d，解得a2(舍负)圆C的半径r|CM|3，因此圆C的方程为(x2)2y29.8圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为_答案 (x2)2(y1)24解析设圆心(a0)，半径为a.由勾股定理得()22a2，解得a2(舍负)所以圆心为(2,1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.考点三点、直线、圆的位置关系方法技巧(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长构成直角三角形的三边，利用其关系来处理9过点P(3,1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2y21相切，则a的值为()AB.C.D答案A解析点P(3,1)关于x轴的对称点为P(3，1)，由题意得直线PQ与圆x2y21相切，因为直线PQ：x(a3)ya0，所以由1，得a.10已知圆C：(xa)2(y2)24(a0)，若倾斜角为45的直线l过抛物线y212x的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2，则a等于()A.1B.C2D.1答案D解析抛物线y212x的焦点为(3,0)，故直线的方程为xy30.弦长为2，圆的半径r2，圆心到直线的距离d1，即1，结合a0，得a1，故选D.11已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_答案54解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，得(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.12设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_答案(x1)2(y)21解析由题意知该圆的半径为1，设圆心C(1，a)(a0)，则A(0，a)又F(1,0)，所以(1,0)，(1，a)由题意知与的夹角为120，得cos120，解得a(舍负)所以圆的方程为(x1)2(y)21.1直线xcosy20的倾斜角的取值范围是_答案解析设直线的斜率为k，则ktancos.因为1cos1，所以cos.所以tan.当0tan时，0；当tan0时，.故此直线的倾斜角的取值范围是.2已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2y22x4y50截得的弦长为6，则直线l的方程为_答案x20或3x4y100解析当l斜率不存在时，符合题意；当l斜率存在时，设l：yk(x2)4，C：(x1)2(y2)210.由题意可得2210，解得k，此时l：3x4y100.综上，直线l的方程是x20或3x4y100.3由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_答案解析如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线yx1的距离为d，则d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|.解题秘籍(1)直线倾斜角的范围是0，)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系1已知命题p：“m1”，命题q：“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”，则命题p是命题q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”的充要条件是11(1)m20m1.命题p是命题q的充分不必要条件2两条平行线l1，l2分别过点P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，) B(0,5C(，) D(0，答案D解析当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，l1，l2之间距离的取值范围是(0，故选D.3已知过点P(2,2)的直线与圆C：(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()AB1C2D.答案C解析由切线与直线axy10垂直，且P为圆C上一点，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线axy10平行，所以a，解得a2.4若直线xym0被圆C：(x1)2y25截得的弦长为2，则m的值为()A1B3C1或3D2答案C解析圆C：(x1)2y25的圆心C(1,0)，半径r，又直线xym0被圆截得的弦长为2.圆心C到直线的距离d，m1或m3.5已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.答案B解析设ABC外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，ABC外接圆的圆心为，圆心到原点的距离d.6已知圆C：(x1)2y225，则过点P(2，1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A10B9C10D9答案C解析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|，最短弦的长为222，故所求四边形的面积S10210.7已知圆的方程为x2y24x6y110，直线l：xyt0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为()A(2,4)(6,8) B(2.46,8)C(2,4) D(6,8)答案A解析把x2y24x6y110变形为(x2)2(y3)22，所以圆心坐标为(2,3)，半径为，则，解得2t4或6t8.8如图，圆M和圆N与直线l：ykx分别相切于点A，B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|ON|且2，则实数k的值为()A1B.C.D.答案D解析过两圆圆心分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，设圆M，圆N的半径分别为R，r，2，|AC|2|BC|.OB是圆M，圆N的切线，AMOB，BNOB，MACNBC，2，即R2r.x轴是两圆的公切线，且OB也是两圆的公切线，OM平分BOP，ON平分BOQ，NOQPOM90，NOQPMO，又|OM|ON|，MPOOQN，|OQ|MP|R.tanNOQ，tanBOQtan2NOQ，k.9(2018全国)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.圆心C(0，1)到直线xy10的距离d，|AB|222.10直线axby1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为_答案1解析AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线axby1的距离等于，由点到直线的距离公式，得，即2a2b22，即a21且b，点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d，因此当b时，dmax1.11已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为_答案xy30解析圆C的标准方程为(x4)2(y1)29，圆C的圆心C(4,1)，半径r3.又直线l：ya(x3)过定点P(3,0)，则当直线l与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短因此akCPa1，a1.故所求直线l的方程为y(x3)，即xy30.12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_答案解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知，(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.
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