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压轴小题组合练(B)1.已知椭圆C：1(ab0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案B解析把yx3代入椭圆方程，得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由于只有一个公共点，所以0，得a2b29，又，所以，解得a25，b24.所以椭圆的方程为1.2.如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且xy，则的最小值为()A.B.2C.D.答案D解析设mn，B，D，E，C共线，mn1，1，xy，则xymn2，当且仅当x，y时，等号成立.则的最小值为，故选D.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AB上一点，且AE1，BE3，以E为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1，DD1分别交于F，G两点，则AFG的面积为()A.42B.3C.22D.4答案D解析正方体的棱长为4，则DE，EC5.作EHA1B1于H，则EFEGEC5，A1F2，DG2，则FH3，所以SAFGSADG1642416412844.4.设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若|PF1|8，则双曲线的焦距等于()A.6B.6C.3D.3答案A解析如图，不妨设点P在第一象限，连接PF2，依题意知PF1PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，连接NM，则NMPF1，因此RtPF1F2RtNF1M，所以，则，解得|PF2|，由勾股定理可得|PF1|，所以8，得c3，故双曲线的焦距为6.5.已知抛物线T的焦点为F，准线为l，过F的直线m与T交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，若m与l不平行，则CMD是()A.等腰三角形且为锐角三角形B.等腰三角形且为钝角三角形C.等腰直角三角形D.非等腰的直角三角形答案A解析不妨设抛物线T的方程为y22px(p0).点A在抛物线y22px上，F为抛物线的焦点，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，NM是M到抛物线准线的垂线，垂足为N，准线与x轴的交点为E，如图：在CMD中，|CN|ND|，CMD是等腰三角形，又根据抛物线定义，|AC|AF|，|BD|BF|，CFDCFEDFEACFBDFAFCBFD.可得CFD90，又|MN|EF|，可得CMDb0)上关于长轴对称的两点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，设k1，k2分别为直线MA，NB的斜率，则|k14k2|的最小值为()A.B.C.D.答案C解析设M(x0，y0)，N(x0，y0)，k1，k2，|k14k2|24，由题意得y(a2x)，所以|k14k2|44.7.已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形)，在侧棱AB上任取一点P(与A，B都不重合)，若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则的最小值为()A.B.4C.D.5答案C解析由题意得aSBCDbSACDhSBCD，其中SBCDSACD，h为以BCD为底面的正四面体ABCD的高.h2，ab2.(ab)，当且仅当a，b时取等号.8.已知F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若(1)，则此双曲线的离心率是()A.B.C.2D.答案A解析设F(c,0)，A(0，b)，渐近线方程为yx，则直线AF的方程为1，与yx联立可得B，(1)，(c，b)(1)，c(1)，e.9.(2018河北省衡水金卷调研)已知抛物线x24y的焦点为F，双曲线1(a0，b0)的右焦点为F1，过点F，F1的直线与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线yx垂直，则ab的最大值为()A.B.C.D.2答案B解析由题意可知，直线FF1的方程为yx1，由得xM，又由x24y，即yx，因此1，即c，所以a2b23，又a2b22ab，即32ab，当且仅当ab时取等号，即(ab)max.10.点M(3,2)到抛物线C：yax2(a0)准线的距离为4，F为抛物线的焦点，点N(1,1)，当点P在直线l：xy2上运动时，的最小值为()A.B.C.D.答案B解析点M(3,2)到抛物线C：yax2(a0)准线的距离为4，24，a，抛物线C：x28y，直线l：xy2与x轴交于A(2,0)，则FAl，且点N，A，F三点共线，设|AP|t，则|AN|，|AF|2，|PN|，|PF|，设1m(m1)，则，m1，即t0时，的最小值为.11.如图，在ABC中，ABBC，ABC90，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A.7B.5C.3D.答案A解析依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，PCD外接圆的圆心为O1，则OO1平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD，O1D1及OBOD，可得OB，则外接球的半径R.所以该球的表面积S球4R27.12.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是B1C1的中点，若正方体ABCDA1B1C1D1的内切球与直线EF交于点G，H，且GH3，若点Q是棱BB1上一个动点，则AQD1Q的最小值为()A.6B.3C.6D.6答案C解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，内切球球心为O，由题意可得内切球半径r.OEOFa，EFa，取EF中点P，则OPa，所以cosPOG，所以GOH，OG，a3，把平面DD1B1B与平面AA1B1B展成一个平面，则A，Q，D1共线时AQD1Q最小，最小值为D1A6.13.(2018天津滨海新区联考)已知正实数a，b满足2ab，且ab，则的最小值为_.答案2解析由题意得2ab0，(2ab)2，当且仅当2ab，即b时等号成立.14.如图，在ABC中，已知，P为AD上一点，且满足m，若ABC的面积为，ACB，则的最小值为_.答案解析设，则(1).由平面向量基本定理可得解得m，令x，y，则SABCsinACBxy，xy4，且x0，y0.2x2y2xyx2y22，当且仅当x2y2，即3x4y，即34时等号成立.即min.15.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC, AA12, ABBC1, ABC90，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：直线AC与直线C1E是异面直线；A1E一定不垂直于AC1；三棱锥EAA1O的体积为定值；AEEC1的最小值为2.其中正确命题的序号是_.答案解析因为点A平面BB1C1C，点CC1E，所以直线AC与直线C1E是异面直线；A1EAB1时，直线A1E平面AB1C1.所以A1EAC1，错误；球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1平面AA1O，所以点E到底面距离不变，体积为定值；将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1交点时，AEEC1取得最小值2.所以正确命题的序号是.16.(2018四川省成都市石室中学模拟)已知四面体ABCD的所有棱长都为，O是该四面体内一点，且点O到平面ABC，平面ACD，平面ABD，平面BCD的距离分别为，x，和y，则的最小值是_.答案解析该几何体为正四面体，体积为2.各个面的面积为2，所以四面体的体积又可以表示为，化简得xy，故.
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