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第6课时组合问题基础达标(水平一)1.已知圆上有9个点,每2个点连一条线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有().A.36个B.72个C.63个D.126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点有C94=126个.【答案】D2.下列等式中不是恒等式的是().A.Cnm=Cnn-m(mn)B.(n+2)(n+1)Anm=An+2m+2(mn)C.Cnm=Anmn!(mn)D.Cnm=Cn-1m+Cn-1m-1(mn)【解析】因为Cnm=AnmAmm=Anmm!(mn),所以Cnm=Anmn!(mn)不是恒等式,故选C.【答案】C3.12名同学合影,前排站4人,后排站8人,摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是().A.C82A32B.C82A66C.C82A62D.C82A52【解析】因为要从后排8人中抽2人,抽法种数为C82,插到前排,其他人的顺序不变,所以这2个人可以相邻,也可以不相邻,故插入方法为A52+C51A22=A62,故不同的调整方法总数是C82A62.【答案】C4.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有().A.10种B.20种C.36种D.52种【解析】根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有C42种放法;第二类,2号盒子里放3个球,有C43种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同的放球方法C42+C43=10种.【答案】A5.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有种.【解析】先排A,将B和C“捆绑”作为一个整体.因此编排方法共有A21A22A44=96种.【答案】966.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参加展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为.【解析】设男生人数为x,则女生人数为6-x.依题意得C63-Cx3=16,即Cx3=4,故x=4,所以该小组中的女生人数为2.【答案】27.判断下列问题是组合问题还是排列问题,然后再算出问题的结果.(1)集合0,1,2,3,4的含3个元素的子集的个数是多少?(2)没有任何3点共线的5个点可以连成多少条线段?如果连成有向线段,共有多少条?(3)某小组有9名同学,从中选出正、副班长各1名,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?【解析】(1)由于集合中的元素是没有次序的,一个含3个元素的子集就是一个从集合0,1,2,3,4中取出3个数的组合.这是一个组合问题,组合的个数是C53=543321=10,所以子集的个数是10.(2)由5个点中取2个点恰好连成一条线段,不用考虑这2个点的次序,所以是组合问题,组合数是C52=5421=10,连成的线段共有10条.再考虑有向线段问题,这时2个点的先后排列次序不同对应2条不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是A52=54=20,所以有向线段共有20条.(3)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题.排列数是A92=98=72,所以选正、副班长共有72种选法.选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题.组合数是C92=9821=36,所以不同的选法有36种.拓展提升(水平二)8.若Cn+2mCn+2m+1Cn+2m+2=3511,则m,n的值分别为().A.m=1,n=3B.m=3,n=7 C.m=2,n=5D.m=4,n=6【解析】由Cn+2m+1Cn+2m+2=11得Cn+2m+1=Cn+2m+2,(m+1)+(m+2)=n+2,即n=2m+1.又Cn+2mCn+2m+1=35,C2m+3mC2m+3m+1=35,解得m=2,n=5.【答案】C9.某单位有15名成员,其中男性10名,女性5名,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是().A.C103C53B.C104C52C.C155D.A104A52【解析】按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,共有C104C52种抽法.【答案】B10.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的17所处的位置上,其中3盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有种.【解析】7个点可组成的三角形有C73-5=30个,因为3盆兰花不能放在一条直线上,所以可放在三角形的三个角上,有C301A33=180种放法,再放4盆不同的玫瑰花,没有限制,放在剩余的4个位置,有A44=24种放法,所以不同的摆放方法为18024=4320种.【答案】432011.第21届世界杯足球赛将于2018年夏季在俄罗斯举办,共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队按确定的顺序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问:这届世界杯总共将进行多少场比赛?【解析】可分为如下几类比赛:小组循环赛:每组有C42场,8个小组共有8C42场;八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,16强中每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一场,可以决出4强,共有4场;半决赛:根据赛制规则,4强中每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;决赛:2强比赛一场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛一场决出第三、四名,共有2场.综上所述,共将进行8C42+8+4+2+2=64场比赛.
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