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第1讲函数的图象与性质考情考向分析1.函数的概念和函数的基本性质是B级要求，主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题. 2.指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点， B级要求.3.函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，试题难度中等偏上热点一函数性质及其运用例1(1)(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)exex1(e为自然对数的底数)，若f(2x1)f(4x2)2，则实数x的取值范围是_答案(1,3)解析令g(x)f(x)1 ，则g(x)为奇函数，且为增函数，由f(2x1)f(4x2)2，得g(2x1)g(4x2)0，所以g(2x1)g(x24)，即2x1x24，所以x22x30，解得1x0时，f(x)|xa|a(aR)若xR，f(x2 016)f(x)，则实数a的取值范围是_答案(，504)解析当a0时，f(x)x，xR，满足条件；当a0时，f(x)要满足条件，需4a2 016 ，即0a504，综上，实数a的取值范围是a504.思维升华(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)0的解集为_答案(2,0)(1,2)解析函数f(x)为奇函数且在(，0)上单调递减，f(x)在(0，)上也单调递减，又函数f(x)为奇函数且f(2)0，f(2)f(2)0，当x2或0x2时，f(x)0，当2x0或x2时，f(x)0(如图)，不等式0等价于或解得x(2,0)(1,2)热点二函数图象及其运用例2(1) 已知函数f(x)若|f(x)|ax，则实数a的取值范围是_答案2,0解析函数y|f(x)|的图象如图，yax为过原点的一条直线，当a0时，与y|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a0时，成立；当a0时，找与y|x22x|(x0)相切的情况，即y2x2，切线方程为y(2x02)(xx0)，由分析可知x00，所以a2，综上，a2,0(2)已知函数f(x)若abc且fff，则(ab1)c的取值范围是_答案解析作出函数f(x)的图象，如图所示当abc时，f(a)f(b)f(c)，log4alog4b，即log4alog4b0，则log4(ab)0，a1b4c6，且ab1，1624c2c2664，即c的取值范围是.思维升华(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围； (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用常与图象数形结合研究跟踪演练2(1)已知定义在区间上的函数yf的图象如图所示，对于满足0x1x2x2x1；x2fx1f；x2x1，可得1，即两点与连线的斜率大于1，显然不正确；由x2fx1f，得，即表示两点，与原点连线的斜率的大小，可以看出结论正确；结合函数图象，容易判断结论正确(2)(2018江苏省常州市横林高中月考)已知函数f(x)则不等式f(2x2|x|)5的解集为_答案解析方法一作出函数f(x)的图象如图所示若2x20，则不等式f5恒成立，此时0，得00)恰有4个零点，则a的取值范围是_答案4a16log46解析函数yaf(x)log4(x1)恰有4个零点，等价于yaf(x)与ylog4的图象有4个交点，则a0，画出yaf(x)与ylog4(x1)的图象f(x)满足f(x)2f(x1)，当x时，f(x)x2，当x时，f(x)2(x1)2，由图象知在上两图象有一个交点，在上有两个交点，只需在上有一个交点即可，如图，解得41时，函数的零点满足mx20，则m，由题意可得函数ym与函数g(x)有两个不同的交点， 绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m的取值范围是.1(2016江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_答案解析由已知得，fffa，fff.又ff，则a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.2(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点，不合题意当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上单调递减，在上单调递增又f(x)只有一个零点，f10，a3.此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1,1时，f(x)在1,0上单调递增，在(0,1上单调递减又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.3(2017江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lg x0的解的个数是_答案8解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1x10的情况，在此范围内，xQ，且xZ时，设x，p，qN*，p2且p，q互质若lg xQ，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nN*，m2且m，n互质因此，则10nm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点，画出函数草图图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内xD部分，且x1处(lg x)0的解集为_答案(1,0)解析函数f(x)的定义域为R.f(x)，f(x)，所以f(x)f(x)，f(x)为奇函数又f(x)在R上单调递减，所以f(a1)f(a21)0f(a1)f(1a2)，所以a11a2，解得1a0，若函数f(x)且g(x)f(x)ax2有且只有5个零点，则a的取值范围是_答案(2，e)解析由题意可知，x0是g(x)的1个零点，当x0时，由f(x)ax2可得a令h(x)(x0)，则h(x).当0x0，当x时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，h(x)h()e，且当x时，h(x)0，当x0时，h(x)0.在同一平面直角坐标系中作出h(x)和y的图象，由图可知，g(x)f(x)ax2有且只有5个零点需满足2ae，则a的取值范围是(2，e)A组专题通关1已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上单调递增，若af()，bf(log35)，cf(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)答案balog53log5，log35log331,00.20.5，0.20.5log53ff，即ba0且a1)在x2，)上恒有|y|1，则a应满足的条件是_答案a1或1a2解析若0a1，当x2时，logax0，logax1.由题意知loga21，当x2时，logax0，logax1.由题意知loga21，a(1,2)综上可知，a1或1a2.4若函数f(x)在R上是增函数，则a的取值范围为_答案解析由题意得a.5已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x1)2的解集是_答案1,3解析因为偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(2)2.所以f(x1)2，即f(|x1|)f(2)，即|x1|2，所以1x3.6函数f(x)2x(x1)，x(1,3的值域为_答案(，7解析u1(x1)在(1,3上为减函数，u2(x1)在(1,3上为增函数又u32x在(1,3上也为增函数，f(x)u3u22x(x1)在(1,3上为增函数故f(x)的值域为(，77若函数f(x)(a，bR)为奇函数，则f(ab)的值为_答案1解析因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，f(2)f(2)，即解得a1，b2.经验证a1，b2满足题设条件，所以f(ab)f(1)1.8已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0，f(x)在R上为增函数又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20，令g(m)mxx2，m2,2，由g(m)0恒成立，可得2x.9若函数f(x)|x24x|2m1在区间上有3个不同零点，则实数m的取值范围为_答案解析令g(x)|x24x|，在同一直角坐标系中作出函数yg(x)和y2m1的图象如图所示，则函数f(x)有3个不同零点等价于直线y2m1与函数yg(x)的图象有3个不同交点因为g(0)g(4)0，g(1)5, g(2)4，g，结合图象分析可得2m14，解得m，所以实数m的取值范围为.10已知函数f(x)是奇函数，当x0且a1)对x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析由已知得当x0时，f(x)x2x，故x22logax对x恒成立，即当x时，函数yx2的图象不在y2logax图象的上方，可以从图象(图略)知0a1且2loga，解得a1.B组能力提高11函数f(x)的值域为_答案解析函数f(x)的定义域为x|x1，则当x1时，f(1)0.当x1时，f(x)，x14，当且仅当x1时，等号成立，.故函数f(x)的值域为.12设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_答案解析设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由题意知存在唯一的整数x0，使得g(x0)h(x0)，因为g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以a0)，且关于x的方程g(x)mf(x)在1,2上有解，求m的取值范围(1)证明任取x1x2，则f(x1)f(x2)log2(1)log2(1)log2，x1x2，02x112x21，01，log20，f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(，)内单调递增(2)解方法一由g(x)mf(x)，得mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2log2，当1x2时，1，m的取值范围是.方法二解方程log2(2x1)mlog2(2x1)，得xlog2，1x2，1log22，解得log2mlog2.m的取值范围是.
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