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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量基本定理.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标知识点一空间向量基本定理思考1平面向量基本定理的内容是什么？答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考2平面向量的基底唯一确定吗？答案不唯一梳理(1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc(2)基底条件：三个向量a，b，c不共面结论：a，b，c叫做空间的一个基底基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示()(2)若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量()(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线()(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底()类型一基底的判断例1(1)下列能使向量，成为空间的一个基底的关系式是()A.B.C.D.2MC(2)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量：a，b，x；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的有()A1个B2个C3个D0个考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的判断答案(1)C(2)B解析(1)对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于选项B，D，可知，共面，故选C.(2)均可以作为空间的基底，故选B.反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟踪训练1(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()A2aB2bC2a3bD2a5c(2)以下四个命题中正确的是()A基底a，b，c中可以有零向量B空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底CABC为直角三角形的充要条件是0D空间向量的基底只能有一组考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案(1)D(2)B解析(2)使用排除法因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确类型二空间向量基本定理的应用例2如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，D为BC的中点试用向量a，b，c表示向量和.考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理解因为，而，又D为BC的中点，所以()，所以()()()(abc)又因为，()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.反思与感悟用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求跟踪训练2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理解(1)如图，连接AC，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.类型三空间向量的坐标表示例3(1)设e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案(4，8,3)，(2，3,7)解析由于e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)(2)已知a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解因为a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，设ae1e2e3，即(3,4,5)(2，3，3)，所以解此方程组得所以a沿e1，e2，e3的正交分解为ae1e2e3.反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3(1)空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，在基底a，b，c下的坐标为_考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案解析OM2MA，点M在OA上，OMOA，()abc.(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解因为PAADAB1，所以可设e1，e2，e3.因为()()e3e2，所以.1已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且ijk，则点B的坐标是()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案D解析由ijk只能确定向量(1,1，1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定2在下列两个命题中，真命题是()若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A仅B仅CD都不是考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案A解析为真命题；中，由题意得a，b，c共面，故为假命题，故选A.3已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案A解析设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)4已知ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，若dabc，则，的值分别为_考点空间向量的正交分解题点空间向量在单位正交基底下的坐标答案，1，解析d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，5如图，已知PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为PDC的重心，i，j，k，试用基底i，j，k表示向量，.考点空间向量的正交分解题点向量在单位正交基底下的坐标解延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，()ijk.ijk.1基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标3用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示一、选择题1下列说法中不正确的是()A只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面C纵坐标为0的向量都共面D横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案A解析单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直2在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是()A向量的坐标与点B的坐标相同B向量的坐标与点A的坐标相同C向量的坐标与向量的坐标相同D向量的坐标与的坐标相同考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案D3已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.B.C.D.或考点空间向量基底的概念题点答案C解析ab且a，b不共线，a，b，共面，与a，b不能构成一组空间基底4已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，则C的坐标是()A.B.C.D.考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案A解析设点C坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)又(3，2，4)，x，y，z.5a，b，c为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z的值分别为()A0,0,1B0,0,0C1,0,1D0,1,0考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案B解析若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x0，则abc，a，b，c共面这与a，b，c是基底矛盾，故xyz0.6设a，b，c是三个不共面向量，现从ab，abc中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的是()A仅B仅CD不确定考点空间向量基底的概念题点空间向量基底的概念答案B解析对于ab与a，b共面，ab与a，b不能构成空间的一个基底对于abc与a，b不共面，abc与a，b构成空间的一个基底7设O-ABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A.B.C.D.考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案A解析如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，()(2)，(2)，33()，()，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系已知ABAD2，BB11，则的坐标为_，的坐标为_考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案(0,2,1)(2,2,1)解析根据已建立的空间直角坐标系，知A(0,0,0)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)9在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理答案abc解析()()abc.10若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点D的坐标为_考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案(5,13，3)解析由四边形ABCD是平行四边形知，设D(x，y，z)，则(x4，y1，z3)，(1,12，6)，所以解得即D点坐标为(5,13，3)三、解答题11.如图所示，正方体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量，；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理解(1)abc.bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)12.已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，的坐标考点空间向量的正交分解题点空间向量的坐标解设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴的正方向相同，则2e12e22e3，(2,2,2)2e12e2e3，(2,2,1)e2，(0,1,0)13在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值考点空间向量基底的概念题点空间向量的基本定理(1)证明因为()()，所以A，E，C1，F四点共面(2)解因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.四、探究与拓展14已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，AC，BD的中点分别为E，F，则_.考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理答案3a3b5c解析如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.15已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量，的坐标考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解过点A作AG垂直平面BCD于点G，所以G为BCD的中心，过点G作GFCD，延长BG交CD于点E，则E为CD的中点以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，因为BCD的边长为1，所以BE，GE，又，所以GF，又BG，所以AG.设单位正交基底为e1，e2，e3，则e2e3，e2e1e3，e2e1e3.
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