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第1讲基本初等函数、函数图象与性质1以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法；4掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；5以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；6能利用函数解决简单的实际问题1函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性：若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)0奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性(3)周期性：若yf(x)对xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)恒成立，则yf(x)是周期为2a的周期函数若yf(x)是偶函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数若yf(x)是奇函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数若f(xa)f(x)，则yf(x)是周期为2|a|的周期函数易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“”连接，可用“和”或“，”连接2函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究(3)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于点(a，0)对称3指数与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)；(7)logaN(注：a，b0且a，b1，M0，N0)4指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数3函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解5应用函数模型解决实际问题的一般程序热点一函数的图象及应用【例1】(1) (2018全国II卷)函数的图像大致为 ()ABCD(2)(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则实数a的取值范围是()ABCD解析(1)，为奇函数，舍去A,，舍去D;，所以舍去C；因此选B.(2)设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)h(x0)，因为g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以a0时，与y|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a0时成立；当a0时，找与y|x22x|(x0)相切的情况，即y2x2，切点为(0，0)，此时a2022，即有2a0，综上，a2，0答案(1)C(2)D热点二函数的性质与应用【例2】(1) (2018全国II卷)已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）ABCD(2)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab法二(特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab答案(1)C(2)C探究提高1利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解2函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性【训练2】(1)(2017淄博诊断)已知奇函数f(x)则f(2)的值等于_(2)(2017西安质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x1，1时，f(x)x，则()Af(3)f(2)fBf f(3)f(2)Cf(2)f(3)fDf(2)fff(0)，即f(3)ff(2)答案(1)8(2)D热点三基本初等函数的图象与性质【例3】(1)(2017郑州一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)(2018襄阳联考)设函数，则是（）A奇函数，且在上是增函数B奇函数，且在上是减函数C偶函数，且在上是增函数D偶函数，且在上是减函数解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B(2)因为，所以函数是偶函数，又在上是减函数，故选D答案(1)B(2) D探究提高1指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围2研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2与函数yln t的单调性，忽视t0的限制条件【训练3】(1) (2018德州一模)函数的图象大致为（）ABCD(2)(2017成都冲刺)设函数f(x)则满足f(f(t)2f(t)的t的取值范围是_解析(1)令,解得,该函数有三个零点,故排除B；当时,当时,排除C、D故选A (2)若f(t)1，显然成立，则有或解得t若f(t)1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3综上，实数t的取值范围是答案(1) A(2)热点四函数的零点与方程【例4】(1) (2018屯溪一中)已知是函数的一个零点，若，则（）ABCD(2)(2017历城冲刺)已知函数f(x)lnx3，若函数yf(x)f(kx2)有两个零点，则实数k的取值范围是()ABCD解析(1)因为，所以在和上单调递增,由题知，函数在上单调递增，若，所以，故选C. (2)因为f(x)lnx3在区间(1，1)上单增，且是奇函数；令yf(x)f(kx2)0，则f(x)f(kx2)f(x2k)，由函数yf(x)f(kx2)有两个零点，等价于方程x2xk0在区间(1，1)上有两个根，令g(x)x2xk，则满足解得k0答案(1)C(2)B探究提高1函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定2判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题【训练4】(2017石家庄调研)已知函数f(x)sinx(x0)与g(x)logax(0a0)的图象有且只有3对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是()AB(0，1)CD解析由题意，设函数f(x)图象上点P(x0，f(x0)(x00)关于y轴对称的点P(x0，f(x0)必在函数g(x)的图象上，即sinx0loga(x0)，将问题转化成y1f(x)sinx(x0)x与y2g1(x)loga(x)(x0)的图象有且仅有3个交点，作出函数图象如图所示则即解得a所以实数a的取值范围是答案A1(2018全国卷)函数的图像大致为（）ABCD2(2018全国I卷)设函数，则满足的的取值范围是（）ABCD3(2018全国卷)设，则（）ABCD4(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是（）A(，2B2，)C2，)D(，25已知函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围1(2017合肥二模)已知函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1，0)B(1，2C(1，)D(2，)2(2018内江一模)函数的图象大致是（）ABCD3(2018贵州37校联考)已知定义在上的偶函数满足：当时，且的图像关于原点对称，则（）ABCD4(2018银川一中)设函数，.若存在两个零点，则的取值范围是_5(2017贵阳质检)已知函数f(x)ln(x1)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若1x1则x，同理，y，z2x3y0，2x3y又2x5z0，2x5z，3y2x5z故选D5【解题思路】首先根据存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.【答案】画出函数的图像，在轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.1【解题思路】分类讨论：当，即时，从而；当时，得，不成立，由此能求出结果【答案】当，即时，解得，则，当，即时，解得，舍去故选C2【解题思路】由题意，根题设条件，分别求得，当和时，的解集，由此可求解不等式的解集，得到答案【答案】由题意，当时，令，即，解得，又由函数是奇函数，函数的图象关于原点对称，则当时，令，可得，又由不等式，则满足或，解得或，即不等式的解集为，故选A3【解题思路】根据零点定义，令，可得，构造函数，求导并令，解得，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在处取得最大值所以可得，进而根据极限值情况可得的取值范围【答案】令，可化为，令，令，得，当时，；当时，所以，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以，即，所以选B4【解题思路】由f(1)判断a的值，进一步判断其单调性【答案】由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B5【解题思路】(1)定义域求导f(x)0单调区间极值点；(2)利用极值点和端点值结合函数的单调性约束函数的图像，使其满足题意【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)2x0，得x1当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以函数f(x)在x1处取得极小值为1，无极大值(2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，所以k(x)在1，2)上单调递减，在(2，3上单调递增，所以当x2时，函数k(x)取得最小值k(2)22ln 2a因为函数k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点，即有k(x)在1，2)和(2，3内各有一个零点，所以即有解得22ln 22时，令f(x)log2xa0，得x2a又函数f(x)有两个不同零点，2a0且2a2，解得a1故选C2【解题思路】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解【答案】当时，故排除D；易知在上连续，故排除B；且，故排除A，故选C3【解题思路】根据偶函数及的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及为奇函数，可得的值【答案】由题可知函数的图像关于直线和点对称，所以函数的周期为4，则4【解题思路】画出f(x)的图像，利用数形结合进行判断【答案】,若存在两个零点，即,和有两个不同的交点即可，其中一个临界是过点代入得到,且能取到，另一个临界是过点，代入得到，故范围是.故答案为5【解题思路】(1)定义域求导单调区间；(2)分类讨论确定f(x)的最大值【答案】(1)当a1时，f(x)的定义域为(1，1)(1，)，f(x)，当1x3时，f(x)0；当0x1或1x3，f(x)0所以函数f(x)的单调递增区间为(1，0)和(3，)；单调递减区间为(0，1)和(1，3)(2)f(x)，1x0时，令f(x)0，得x1，x2若0a1，此时0x11，对0x0，f(x)f(0)0，不符合题意若a1，此时1x10，对x1x0，有f(x)f(0)0，不符合题意若a1，由(1)知，函数f(x)在x0处取得最大值0，符合题意，综上实数a的取值范围为1
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