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9.1直线方程与圆的方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.直线的倾斜角、斜率与方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念2.掌握过两点的直线斜率的计算公式3.掌握确定两直线位置的几何要素以及求直线方程的几种形式4.了解斜截式与一次函数的关系2017课标全国,20;2016四川,10;2014福建,6;2013广东,7选择题、填空题2.圆的方程1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程与一般方程3.会利用待定系数法和直接法求圆的方程2017课标全国,20;2016北京,5;2016浙江,10分析解读从近几年的高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.五年高考考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案D2.(2013广东,7,5分)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第象限的直线方程是()A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=0答案A教师用书专用(3)3.(2016四川,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A考点二圆的方程1.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.2D.22答案C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D3.(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.答案(-2,-4);54.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为 ;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-2-15.(2014山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为23,则圆C的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=46.(2013课标全国,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.解析(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3. 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.教师用书专用(79)7.(2014湖北,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b-2)和常数满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|,则(1)b=;(2)=.答案(1)-12(2)128.(2013江西,14,5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.答案(x-2)2+y+322=2549.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),线段AB的中点M(x0,y0)其中x0=x1+x22,y0=y1+y22,将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0,则有x1+x2=61+t2,所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0=3t1+t2.因为x02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0-322+y02=94.又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,所以=36-20(1+t2)0,解得t245,所以53x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=9453x3.(3)由(2)知,曲线C:x-322+y2=9453x3.如图,D53,253,E53,-253,F(3,0),直线L过定点G(4,0).由x-322+y2=94,y=k(x-4)得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.当直线L与曲线C相切时,判别式=0,解得k=34.结合图形可以判断,当直线L与曲线C只有一个交点时,有kDGkkEG或k=kGH或k=kGI,即k-257,257-34,34.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.(2018重庆一中期中,5)过点(1,1),且在y轴上的截距为3的直线方程是()A.x+2y-3=0B.2x-y-1=0C.x-2y-1=0D.2x+y-3=0答案D2.(2018豫北六校联考,5)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A.0,4B.34,C.0,42,D.4,234,答案B3.(2018辽宁沈阳二中期中,7)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率为()A.4B.3C.2D.1答案A4.(2017河北衡水中学周测(十九),7)已知直线l1:3x-y+1=0,直线l2过点(1,0),且直线l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍,则直线l2的方程为()A.y=6x+1B.y=6(x-1)C.y=34(x-1)D.y=-34(x-1)答案D5.(2016四川南充模拟,4)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为()A.x-y+1=0B.x-y+1=0或3x-2y=0C.x+y-5=0D.x+y-5=0或3x-2y=0答案B考点二圆的方程6.(2018吉林长春调研,3)已知圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为(a,b),则a2+b2=()A.8B.16C.12D.13答案D7.(2017河北唐山二模,5)圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254答案C8.(2017河南洛阳期中,6)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案B9.(2016河南许昌三模,6)经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=4D.(x+1)2+(y-1)2=4答案A10.(2018豫西南五校联考,14)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为6,则圆C的方程为.答案(x-1)2+(y+1)2=211.(2018湘东五校模拟,15)圆心在抛物线y=12x2(x0,x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则ACBC=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-12.由0得m8,所以m=-12,此时C(0,-1),AB的中点M-14,0即圆心,半径r=|CM|=174,故所求圆的方程为 x+142+y2=1716.(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令x2+y2-y=0,x+2y-2=0,可得x=0,y=1或x=25,y=45,故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和25,45.C组20162018年模拟方法题组方法1求解直线的斜率及倾斜角范围的方法1.(2017中原名校联盟12月联考,6)设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则实数a的取值范围是()A.-,-5243,+B.-43,52C.-52,43D.-,-4352,+答案D2.(2016河南信阳调研,6)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.4,3B.3,2C.4,2D.3,2答案C方法2求直线方程的方法3.(2018江西南昌二中月考,6)曲线y=2xx-1在点P(2,4)处的切线与直线l平行且点P到直线l的距离为25,则直线l的方程为()A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或2x-y-18=0答案B4.(2016吉林九校联考,7)经过点P(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线l的方程为()A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案B5.(2017山西长治二中月考,14)直线l过点P(6,4),且分别与x轴,y轴的正方向交于A,B两点,当ABO的面积最小时,直线l的方程为.答案2x+3y-24=0方法3求圆的方程的方法6.(2018河北石家庄质检,15)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为8,则OAB外接圆的标准方程是.答案(x-2)2+(y-2)2=87.(2016宁夏银川一中调研,15)两条互相垂直的直线2x+y+2=0和ax+4y-2=0的交点为P,若圆C过点P和点M(-3,2),且圆心在直线y=12x上,则圆C的标准方程为.答案(x+6)2+(y+3)2=348.(2017江西四校12月联考,20)在平面直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆O内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PAPB的取值范围.解析(1)依题意得,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y-4=0的距离,即r=41+3=2,故圆O的方程为x2+y2=4.(2)由已知不妨设A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为点P在圆O内,所以x2+y24,x2-y2=2.由此得y21.所以PAPB=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=2y2-20,又易得PAPB=2y2-2-2,所以PAPB的取值范围为-2,0).方法4对称问题的处理方法9.(2017江西赣中南五校联考,5)已知直线l与直线2x-3y+4=0关于直线x=1对称,则直线l的方程为()A.2x+3y-8=0B.3x-2y+1=0C.x+2y-5=0D.3x+2y-7=0答案A10.(2018湖南师大附中联考,14)若直线l1:y=-x关于直线l的对称直线为l2:x+y-2=0,则直线l的方程为.答案x+y-1=011.(2017河北衡水中学二调,17)一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1).(1)求入射光线所在直线的方程;(2)求这条光线从点P到点Q的长度.解析(1)如图所示.设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于点M.kl=-1,kQQ=1,QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0,由x+y+1=0,x-y=0,解得l与QQ的交点M的坐标为-12,-12.又M为QQ的中点,由1+x2=-12,1+y2=-12,解得x=-2,y=-2.Q(-2,-2).设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线.由P(2,3)、Q(-2,-2)得入射光线所在直线的方程为x+22+2=y+23+2,即5x-4y+2=0.(2)由(1)知l是线段QQ的垂直平分线,|NQ|=|NQ|,|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=(3+2)2+(2+2)2=41,即这条光线从点P到点Q的长度是41.
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