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第2讲数列求和及简单应用(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号数列的通项公式1,9,11,12数列求和2,3,4,5,6,7,8,11数列的综合问题10,12一、选择题1.在数列xn中,2xn=1xn-1+1xn+1(n2),且x2=23,x4=25,则x10等于(C)(A)112(B)16(C)211(D)15解析:由2xn=1xn-1+1xn+1(n2)可知数列1xn是等差数列,又x2=23,x4=25,所以1x2=32,1x4=52.所以1x1+d=32,1x1+3d=52,解得1x1=1,d=12,则1x10=1x1+9d=1+92=112,所以x10=211.故选C.2.(2018河南南阳一中模拟)已知数列an满足:当n2且nN*时,有an+an-1=(-1)n3,则数列an的前200项的和为(A)(A)300(B)200(C)100(D)50解析:由题意当n2且nN*时,有an+an-1=(-1)n3,可得到a2+a1=3,a4+a3=3,a6+a5=3,a200+a199=3,所以数列an的前200项的和为(a2+a1)+(a4+a3)+(a6+a5)+(a200+a199)=300.故选A.3.(2018河南省最后一模)设数列an的前n项和为Sn,若a1=4,则an+1=2Sn-4,则S10等于(C)(A)2(310-1)(B)2(310+1)(C)2(39+1)(D)4(39-1)解析:因为a1=4,an+1=2Sn-4,所以a2=2a1-4=4,当n2时,an=2Sn-1-4,-,得an+1-an=2an,an+1=3an,所以an从第二项起构成公比为3的等比数列,S10=a1+(a2+a3+a10)=4+4(39-1)3-1=2(39+1).故选C.4.(2018山东日照高三校际联考)已知数列an中,a1=1,且对任意的m,nN*,都有am+n=am+an+mn,则i=12 0181ai等于(D)(A)2 0172 018(B)2 0171 009(C)2 0182 019(D)4 0362 019解析:因为a1=1,且对任意的m,nN*,都有am+n=am+an+mn,所以令m=1,则an+1=a1+an+n=an+n+1,即an+1-an=n+1,所以an-an-1=n(n2),a2-a1=2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+3+2+1=(n+1)n2,所以1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1),所以i=12 0181ai=2(1-12)+(12-13)+(12 016-12 017)+(12 017-12 018)+(12 018-12 019)=2(1-12 019)=4 0362 019.故选D.5.(2018山东潍坊二模)在数列an中,an=2n-1,一个7行8列的数表中,第i行第j列的元素为cij=aiaj+ai+aj(i=1,2,7,j=1,2,8),则该数表中所有不相等元素之和为(C)(A)216-10(B)216+10(C)216-18(D)216+13解析:该数阵的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,7;j=1,2,8),其数据如表所示, ji 12345678122-123-124-125-126-127-128-129-1223-124-125-126-127-128-129-1210-1324-125-126-127-128-129-1210-1211-1425-126-127-128-129-1210-1211-1212-1526-127-128-129-1210-1211-1212-1213-1627-128-129-1210-1211-1212-1213-1214-1728-129-1210-1211-1212-1213-1214-1215-1由表可知,该数表中所有不相等元素之和为22-1+23-1+215-1=4(1-214)1-2-14=216-18.故选C.6.(2018南平一模)已知数列bn满足b1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2n2)bn+cos2n2,则该数列的前23项的和为(A)(A)4 194(B)4 195(C)2 046(D)2 047解析:b1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2n2)bn+cos2n2,当n为奇数时,bn+2=2bn,数列为以2为公比的等比数列,当n为偶数时,bn+2=bn+1,数列为以1为公差的等差数列.所以S23=(b1+b3+b23)+(b2+b4+b22)=1-2121-2+114+11(11-1)21=212-1+44+55=4 194.故选A.7.(2018山东潍坊青州三模)已知数列an,定义数列an+1-2an为数列an的“2倍差数列”,若an的“2倍差数列”的通项公式为an+1-2an=2n+1,且a1=2,数列an的前n项和为Sn,则S33等于(B)(A)238+1(B)239+2(C)238+2(D)239解析:根据题意得an+1-2an=2n+1,a1=2,所以an+12n+1-an2n=1,所以数列an2n表示首项为1,公差d=1的等差数列,所以an2n=1+(n-1)=n,所以an=n2n,所以Sn=121+222+323+n2n,所以2Sn=122+223+324+n2n+1,所以-Sn=2+22+23+24+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=-2+2n+1-n2n+1,=-2+(1-n)2n+1,所以Sn=(n-1)2n+1+2,S33=(33-1)233+1+2=239+2.故选B.二、填空题8.(2018湖南永州市一模)若Sn=12+12+4+12+4+6+12+4+6+2n(nN+),则S2 017=.解析:令an=12+4+6+2n=2(2+2n)n=1n-1n+1,故S2 017=1-12+12-13+12 017-12 018=2 0172 018.答案:2 0172 0189.数列an的前n项和为Sn,满足4Sn=6an-2n-3,则Sn=.解析:n=1时,4a1=4S1=6a1-2-3,解得a1=52,n2时,an=Sn-Sn-1,4Sn-1=6an-1-2(n-1)-3,4Sn=6an-2n-3,两式相减可得4an=6an-6an-1-2,即an=3an-1+1,即有an+12=3(an-1+12),可得an+12=(52+12)3n-1=3n,即an=3n-12,由4Sn=6an-2n-3,可得Sn=14(23n+1-2n-6)=3n+1-n-32.答案:3n+1-n-3210.(2018安徽淮南二模)已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且a2a1,S4=a1+28,a3+2是a2,a4的等差中项,若数列an+1SnSn+1的前n项和TnM恒成立,则M的最小值为.解析:设等比数列an的公比为q,因为S4=a1+28,a3+2是a2,a4的等差中项,所以a2(1+q+q2)=28,2(a2q+2)=a2(1+q2),解得a2=4,q=2,或a2=16,q=12,因为a2a1,所以a2=4,q=2.所以an=2n,Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,所以an+1SnSn+1=2n+1(2n+1-2)(2n+2-2)=12n+1-2-12n+2-2,所以Tn=122-2-123-2+123-2-124-2+12n+1-2-12n+2-2=12-12n+2-20,即t32,其对称轴n=2t-121,且f(1)0即可满足任意的nN*恒成立.解得t12.综上可得实数t的取值范围是(-,1232,+).
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