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第2讲 概率、随机变量及其分布列A组小题提速练一、选择题1某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是()A.B.C. D.解析：两个分在同一馆的情况有两类：一类是分到城市足迹馆，其有C种分配方法；另一类是分到沙特馆，共有1种分配方法，故其概率为，故选B.答案：B2由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B.C. D.解析：区域1为直角AOB及其内部，SAOB222.区域2是直线xy1和xy2夹成的条形区域(图略)由题意得所求的概率P.故选D.答案：D3袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A. B.C. D1解析：从15个球中任取2个球，取法共有C种，其中恰有1个白球，1个红球的取法有CC种，所以所求概率为P，故选B.答案：B4下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是()A. B.C. D.解析：，故选A.答案：A5先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且xy”，则概率P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：由题意可得P(A)，P(AB)，则P(B|A)，故选A.答案：A6小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会在理论考试环节，若第1次考试通过，则直接进入操作考试；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是()A. B.C. D.解析：由题意得参加3次考试包括第一次理论考试通过且第一次操作考试不通过和第一次理论考试不通过且第二次理论考试通过且第一次操作考试通过两种情况，所以所求概率为，故选B.答案：B7口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an为an如果Sn为数列an的前n项和，那么S73的概率为()AC25 BC34CC43 DC25解析：由题意S73知共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，故只有两次摸到红球的概率是C25，故选A.答案：A8若随机变量XN(，2)(0)，则有如下结论：P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(317)0.1，P(X14) 0.25，则测试成绩X(秒)位于13,14的人数大约有_人解析：P(X13)P(X17)0.1，则P(13X14)P(X14)P(X13)0.15，则120人中成绩位于13,14的人数大约为0.1512018.答案：1816在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为_附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.解析：由P(1X1)0.682 6，得P(0X1)0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 0003 413.答案：3 413B组大题规范练1为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照27.5,32.5)，32.5，37.5)，37.5,42.5)，42.5,47.5)，47.5,52.5)分为5组，其频率分布直方图如图所示(1)求图中a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)解析：(1)组距d5，由5(0.020.040.075a0.015)1，得a0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075300.1350.2400.375450.25500.07540，s2(10)20.1(5)20.2020.375520.251020.07528.75.(3)由已知，这种植物果实的优质率p0.9，且X服从二项分布B(3,0.9)，P(X0)0.130.001，P(X1)C0.90.120.027，P(X2)C0.920.10.243，P(X3)0.930.729，所以X的分布列为：X0123P0.0010.0270.2430.729故数学期望E(X)np2.7.2班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生序号i1234567数学成绩xi60657075858790物理成绩yi70778085908693若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学 ，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程x，其中， .(xi)2(xi)(yi)7683812526解析：(1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为244,18名男同学中应抽取的人数为183，故不同的样本的个数为CC.(2)7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3，的取值为0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).的分布列为：0123PE()0123.0.65， 830.657633.60.线性回归方程为0.65x33.60.当x96时，0.659633.6096.可预测该同学的物理成绩为96分3为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A县推进光伏发电项目在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表以样本的频率作为概率.用电量(单位：度)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1 000户数51510155(1)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民300户若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解析：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则P(A).由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，即XB，故E(X)106.(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得E(Y)100300500700900500(度)则该自然村年均用电量约150 000度又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150 000度，能为该村创造直接收益150 0000.8120 000元4最强大脑是江苏卫视借鉴德国节目Super Brain推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目某机构为了了解大学生喜欢最强大脑是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢最强大脑不喜欢最强大脑总计男生10女生20总计已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢最强大脑的大学生的概率为0.4.(1)请将上述列联表补充完整；(2)判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下能否认为喜欢最强大脑与性别有关，并说明你的理由；(3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢最强大脑，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢最强大脑的人数为X，求X的分布列与数学期望下面的临界值表仅供参考：P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2，其中nabcd)解析：(1)因为在100人中随机抽取1人抽到不喜欢最强大脑的大学生的概率为0.4，所以不喜欢最强大脑的大学生人数为1000.440，其中男生有10人，则女生有30人，列联表补充如下：喜欢最强大脑不喜欢最强大脑总计男生401050女生203050总计6040100(2)由表中数据得K216.66710.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下能认为喜欢最强大脑与性别有关(3)X的所有可能取值为0,1,2.依题意知，X服从超几何分布，所以P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P故数学期望E(X)012.
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