2019届高考数学总复习模块五解析几何限时集训十五圆锥曲线的方程与性质文.docx

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资源描述
限时集训(十五)圆锥曲线的方程与性质基础过关1.若双曲线y2a2-x29=1(a0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.362.已知点F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则线段MN的中点的横坐标为()A.1B.2C.3D.43.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆x2m+y2n=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当F1PF2=23时,F1PF2的面积最大,则有()A.m=12,n=3B.m=24,n=6C.m=6,n=32D.m=12,n=64.已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为()A.y=x-1B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=2x-35.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,其中|F1F2|=3|A1A2|,若双曲线的顶点到渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为()A.x23-y26=1B.x26-y23=1C.x2-y22=1D.x22-y2=16.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切,则此双曲线的离心率为()A.2B.5C.3D.27.已知抛物线y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于M,N两点,与抛物线的准线交于P,Q两点,若四边形MNPQ为矩形,则矩形MNPQ的面积是()A.163B.123C.43D.38.在等腰梯形ABCD中ABCD,|AB|=2|CD|=4,BAD=60,某双曲线以A,B为焦点,且经过C,D两点,则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.3+19.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,点P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A.x=-4B.x=-3C.x=-2D.x=-110.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=32(O为坐标原点),则MOF的面积为()A.22B.12C.14D.211.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若SAOB=23,则双曲线的离心率e=.12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=33x,若抛物线y2=8x的焦点与双曲线C的右焦点重合,则双曲线C的方程为.13.已知F是抛物线C:x2=12y的焦点,P是C上的一点,直线FP交直线y=-3于点Q.若PQ=2FP,则|PQ|=.能力提升14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A,过双曲线的右焦点F2作x轴的垂线交C于点M,点M位于第一象限,若AF2M为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.3B.2C.1+22D.22-115.设椭圆x2m2+y2n2=1,双曲线x2m2-y2n2=1(其中mn0)的离心率分别为e1,e2,则()A.e1e21B.e1e21C.e1e2=1D.e1e2与1大小不确定16.设F1,F2分别是椭圆x2+y2b2=1(0b0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,PQF=60,则该双曲线的离心率为()A.3B.3+1C.2+3D.4+2318.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的轨迹方程为.限时集训(十五) 基础过关1.C解析 由双曲线的方程y2a2-x29=1(a0),可得其一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.2.B解析 设点M(xM,yM),N(xN,yN).易知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.由|MF|+|NF|=6,可得xM+1+xN+1=6,即xM+xN=4,MN的中点的横坐标为xM+xN2=2,故选B.3.A解析 设点P(xP,yP).SF1PF2=12|F1F2|yP|,当P为短轴端点B时,F1PF2的面积最大,此时OBF1=3,又mn0,tan3=3n,n=3,m=n+32=12,故选A.4.D解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为AB的中点为(2,1),所以y1+y2=2,所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=42=2,即直线l的斜率为2,由点斜式得直线l的方程为y-1=2(x-2),化简得y=2x-3,故选D.5.A解析 由题得2c=23a,|ab|a2+b2=2,c2=a2+b2,a2=3,b2=6,双曲线的标准方程为x23-y26=1,故选A.6.A解析 由题意得,双曲线的渐近线y=bax与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切,即圆心(3,1)到直线y=bax的距离为1,则|3ba-1|1+b2a2=1,解得b=3a,则c2=a2+b2=4a2,e=ca=2,故选A.7.A解析 不妨设点M在第一象限.因为四边形MNPQ为矩形,所以|PQ|=|MN|,圆心F到准线的距离与到MN的距离相等,所以M点的横坐标为3,代入抛物线方程,可得M(3,23),N(3,-23),所以|MN|=43,|NP|=4,从而求得矩形MNPQ的面积S=443=163,故选A.8.D解析 由题意及双曲线的离心率定义可知,双曲线的离心率e=|AB|DB|-|DA|.由|AB|=2|CD|=4,BAD=60,可得|DA|=2,|DB|=23,所以e=423-2=3+1,故选D.9.C解析 由题得双曲线的方程为x2a2-y23a2=1(a0),所以c2=a2+3a2=4a2,即c=2a.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=6-a,则0a0,b0)的渐近线为y=bax,抛物线y2=4x的准线为x=-1,所以A-1,ba,B-1,-ba,因此SAOB=1212ba=23,所以b=23a,所以c=13a,e=ca=13.12.x23-y2=1解析抛物线y2=8x的焦点为(2,0),且抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合,c=2.双曲线C的渐近线方程为y=33x,ba=33,又c2=a2+b2,a2=3,b2=1,双曲线C的方程为x23-y2=1.13.8解析 由题知F(0,3),直线y=-3为抛物线C的准线,如图所示,记直线y=-3与y轴的交点为N,过点P作PMQN,垂足为M.因为|PM|=|PF|,|PQ|=2|FP|,所以|PQ|=2|PM|,所以PQM=30,又因为|FN|=6,所以|FQ|=12,故|PQ|=23|FQ|=8,故答案为8. 能力提升14.B解析 依题意得|F2M|=b2a,|AF2|=a+c,由于AF2M为等腰直角三角形,则|F2M|=|AF2|,即b2a=a+c,得b2=a2+ac,c2-a2=a2+ac,c2-ac-2a2=0,两边同时除以a2得e2-e-2=0,可得e=2,故选B.15.B解析 在椭圆x2m2+y2n2=1(mn0)中,c1=m2-n2,e1=c1m=m2-n2m.在双曲线x2m2-y2n2=1(mn0)中,c2=m2+n2,e2=c2m=m2+n2m.则e1e2=m2-n2mm2+n2m=m4-n4m4=1-(nm)41,故选B.16.D解析 由题意得|AF2|=b2,A(c,b2),F1(-c,0).设B(x,y),由|AF1|=3|F1B|,得(-2c,-b2)=3(x+c,y),则x=-53c,y=-13b2,故B-53c,-13b2,代入椭圆方程可得-53c2+(-13b2)2b2=1,又b2+c2=1,解得c=33,所以e=ca=33,故选D.17.B解析 连接PF.|PQ|=2|QF|,PQF=60,PFQ=90,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知四边形F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=3|QF|,故e=2c2a=|F1F|QF1|-|QF|=23-1=3+1,故选B.18.x=-1解析 不妨将抛物线旋转为x2=4y,直线l旋转为直线l,则l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,旋转后A,B两点的坐标分别为x1,14x12,x2,14x22.由x2=4y,y=kx+1,得x2-4kx-4=0.由x2=4y,得y=12x,则抛物线x2=4y在点A处的切线方程为y-14x12=12x1(x-x1).同理可得抛物线x2=4y在点B处的切线方程为y-14x22=12x2(x-x2).由y-14x12=12x1(x-x1),y-14x22=12x2(x-x2)得y=14x1x2,再由式可得x1x2=-4,所以y=-1.故原抛物线C对应的点P的轨迹方程为x=-1.
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