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第14讲圆锥曲线中的综合问题1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l.若射线y=2(x-1)(x1)与C,l分别交于P,Q两点,则|PQ|PF|=() A.2B.2C.5D.52.(2018课标全国,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.23.(2018长春质量检测(二)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为.4.(2018湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值.5.(2017课标全国,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.(2018成都第一次诊断性检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),长半轴与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.7.(2018西安八校联考)已知直线l:x=my+1过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F,抛物线x2=43y的焦点为椭圆C的上顶点,且l交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线x=4上的射影依次为D,K,E.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l交y轴于点M,且MA=1AF,MB=2BF,当m变化时,证明:1+2为定值;(3)当m变化时,直线AE与BD是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;若不是,请说明理由.答案全解全析1.C由y2=4x知抛物线的焦点F(1,0),准线l:x=-1,设l与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线,垂足为P1,由x=-1,y=2(x-1),x1,得点Q的坐标为(-1,-4),所以|FQ|=25.又|PF|=|PP1|,所以|PQ|PF|=|PQ|PP1|=|QF|FF1|=252=5,故选C.2.C本题考查双曲线的几何性质.点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=bca-01+ba2=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|=6a.在RtOPF2中,cosPF2O=|PF2|OF2|=bc,在F1F2P中,cosPF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=b2+4c2-6a22b2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=3.故选C.3.答案34解析不妨设A点在B点上方,由题意知F2(1,0),将F2的横坐标代入方程x24+y23=1中,可得A点纵坐标为32,故|AB|=3,所以ABF1内切圆的半径r=2SC=68=34(其中S为ABF1的面积,C为ABF1的周长4a=8).4.解析(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则b=23.由ca=12,a2=c2+b2,得a=4,椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).设直线AB的方程为y=12x+t.代入x216+y212=1,得x2+tx+t2-12=0,由0,解得-4t0,y1+y2=-2m4+m2,y1y2=-34+m2.点B在以MN为直径的圆上,BMBN=0.BMBN=(my1+1,y1-1)(my2+1,y2-1)=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0,(m2+1)-34+m2+(m-1)-2m4+m2+2=0,整理,得3m2-2m-5=0,解得m=-1或m=53.故直线l的方程为x+y-1=0或3x-5y-3=0.7.解析(1)l:x=my+1过椭圆C的右焦点F,右焦点F(1,0),c=1,即c2=1.x2=43y的焦点(0,3)为椭圆C的上顶点,b=3,即b2=3,则a2=b2+c2=4,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明:由题意知m0,由x=my+1,3x2+4y2-12=0得(3m2+4)y2+6my-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.MA=1AF,MB=2BF,M0,-1m,x1,y1+1m=1(1-x1,-y1),x2,y2+1m=2(1-x2,-y2),1=-1-1my1,2=-1-1my2,1+2=-2-y1+y2my1y2=-2-6m3m2+49m3m2+4=-83.综上所述,当m变化时,1+2为定值-83.(3)当m=0时,直线lx轴,则四边形ABED为矩形,易知AE与BD相交于点N52,0,猜想当m变化时,直线AE与BD相交于定点N52,0,证明如下:AN=52-x1,-y1=32-my1,-y1,易知E(4,y2),则NE=32,y2.32-my1y2-32(-y1)=32(y1+y2)-my1y2=32-6m3m2+4-m-93m2+4=0,ANNE,又AN与NE有一个公共点N,A,N,E三点共线.同理可得B,N,D三点共线.则猜想成立,故当m变化时,直线AE与BD相交于定点N52,0.
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