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专项强化练三二次方程实根分布1.若关于x的方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是()A.(-4,-2)B.(-3,-2)C.(-4,0)D.(-3,1)答案A设函数f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,又f(x)图象开口向上,f(0)0,f(1)0,即-m-20,-2m-80,解得-4m-2,即实数m的取值范围是(-4,-2).故选A.2.二次函数f(x)=ax2+bx+c,a为正整数,c1,a+b+c1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案C因为c1,a+b+c1,所以f(0)1且f(1)1.由题意设f(x)=a(x-x1)(x-x2),则f(0)=ax1x2,f(1)=a(1-x1)(1-x2),故f(1)f(0)=a2x1x2(1-x1)(1-x2),因x1(0,1),故x1(1-x1)14,同理x2(1-x2)14,易知两者等号不能同时取,故f(1)f(0)16,因a为整数,故a5.当a=5时,取b=-5,c=1,此时f(x)=5x2-5x+1,它有两个不等的根且均在(0,1)中,故a的最小值为5.故选C.3.(2018镇海中学下学期期末)关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A.(4,5B.3,6C.5,163D.163,6答案C关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根,=(a-1)2-160,1a-123,1-(a-1)+40,9-3(a-1)+40,解得5a163,故选C.4.(2019台州中学月考)已知一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2,且0x11,则ba的取值范围是()A.-1,-12B.-1,-12C.-2,-12D.-2,-12答案D令f(x)=x2+(1+a)x+1+a+b,易知函数f(x)的图象开口向上,又方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根满足0x110,f(1)0,3+2a+b0,其对应的平面区域如图中阴影区域所示.又ba表示阴影区域内一点与原点连线的斜率,由图可知ba-2,-12,故选D.5.(2018北京东城高三上学期期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若函数h(x)=f(x)-g(x)(f(x)为函数f(x)的导函数)在a,b上有且只有两个不同的零点,则称f(x)是g(x)在a,b上的“关联函数”,若f(x)=x33-3x22+4x是g(x)=2x+m在0,3上的“关联函数”,则实数m的取值范围是()A.-94,+B.-1,0C.(-,-2D.-94,-2答案D由f(x)=x33-3x22+4x,得f(x)=x2-3x+4,f(x)是g(x)在0,3上的“关联函数”,h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在0,3上有且只有两个不同的零点,h(0)=4-m0,h(3)=-2-m0,h52=254-252+4-m0,解得-94m-2,实数m的取值范围是-94,-2.故选D.6.(2019江苏无锡模拟)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数的平方和不大于2,则m的取值集合为.答案m|0m1或10,即(m-2)2-4(m-1)(-1)0,得m20,所以m1且m0.设方程的两个根为x1、x2,由根与系数的关系得x1+x2=m-21-m,x1x2=11-m,则1x1+1x2=x1+x2x1x2=m-2,所以1x12+1x22=1x1+1x22-2x1x2=(m-2)2+2(m-1)2,所以m2-2m0,所以0m2,所以m的取值集合是m|0m1或1m2.7.下列命题中:集合A=x|0x3且xN的真子集的个数是8;函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-,4)上为减函数,则实数a的取值范围是a-3;已知函数y=4x-42x+1(-1x2),则该函数的值域为-34,1;关于x的一元二次方程x2+mx+2m+1=0,其一个根大于1,一个根小于1,则实数m的取值范围是m-23.其中正确的有.(请把所有正确命题的序号都填在横线上)答案解析集合A=x|0x3且xN=0,1,2,集合A的真子集有,0,1,2,0,1,0,2,1,2,共有7个,错误.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a的图象是开口向上,且以直线x=-3a-12为对称轴的抛物线,若函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-,4)上为减函数,则-3a-124,解得a-3,正确.已知函数y=4x-42x+1(-1x2),令t=2x,则12t4,y=t2-4t+1,其图象的对称轴是直线t=2.当t=2时,y取得最小值-3;当t=4时,y取得最大值1,故值域是-3,1,错误.设函数f(x)=x2+mx+2m+1,关于x的一元二次方程x2+mx+2m+1=0的一个根大于1,一个根小于1,f(1)0,即1+m+2m+10,解得m-23,正确.故答案为.8.已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数在区间-1,1上存在零点,求实数q的取值范围;(2)是否存在常数t(t0),当xt,10时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(定义:区间a,b的长度为b-a).解析(1)函数f(x)=x2-16x+q+3图象的对称轴是直线x=8,f(x)在区间-1,1上是减函数.函数在区间-1,1上存在零点,f(1)0,f(-1)0,即1-16+q+30,1+16+q+30,-20q12.(2)由题意得0t10,且函数f(x)的图象的对称轴是直线x=8,f(x)在区间0,8上是减函数,在区间8,10上是增函数.当0t6时,在区间t,10上,f(t)最大,f(8)最小,f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,解得t=15172,t=15-172;当6t8时,在区间t,10上,f(10)最大,f(8)最小,f(10)-f(8)=12-t,即4=12-t,解得t=8;当8t10时,在区间t,10上,f(10)最大,f(t)最小,f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,解得t=8或9,8t0,bR),设方程f(x)=x有两个实根x1,x2.(1)如果x12x2-1;(2)如果0x10,则由条件x12x24,得g(2)04a+2b-1012a+6b-304a-2b02abb2a-1.(2)由(1)知-12a-6b+30,16a+4b-3034-4ab12-2a34-4a18,0x10,g(2)0b18,b916b74或b14.综上,b14.
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