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第2课时抛物线简单性质的应用学习目标1.进一步认识抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点2.直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0)的通径长为2a.()题型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点的个数解由方程组消去y得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)(1)若直线与抛物线有两个交点，则k20且0，即k20且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)所以当k(1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点(2)若直线与抛物线有一个交点，则k20或当k20时，0，解得k0或k1.所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k1时，直线l和抛物线C无交点反思感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况跟踪训练1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是()A.B2,2C1,1D4,4考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点的个数答案C解析准线方程为x2，Q(2,0)设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)；当k0时，由0，得1k0或00.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，适合式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2|.方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直线的斜率k3，故所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|.反思感悟中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线的方程考点直线与抛物线的位置关系题点由抛物线弦长求解相关问题解设所求抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0.所求抛物线方程为y24x或y236x.题型三抛物线中的定点(定值)问题例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题(1)解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则kOA，kOB.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明因为y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y.因为y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)反思感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题证明设kABk(k0)直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，即直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC.kBC.直线BC的斜率为定值.1过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条B3条C2条D1条考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点的个数问题答案B解析当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点当斜率存在时，设直线为ykx1.由得k2x2(2k1)x10，当k0时，符合题意；当k0时，令(2k1)24k20，得k.与抛物线只有一个交点的直线共有3条2若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.B.C.D.考点直线与抛物线的位置关系题点由抛物线的弦长求解相关问题答案A解析线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3直线yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为()A1B0C1D2考点题点答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yxb代入yx2，化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2.又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，则b2或b0，经检验当b0时，不符合题意，故b2.4过M(2,0)作斜率为1的直线l交抛物线y24x于A，B两点，则|AB|_.考点题点答案4解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知l的方程为yx2，与y24x联立得，x28x40，则x1x28，x1x24，所以|AB|x2x1|4.5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上任意一点，若4，求点A的坐标考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解由题意知F(1,0)，设A，则，由4，可得y02，所以A(1，2)求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.一、选择题1过抛物线y2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为()A2B.C.D1考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长答案B解析抛物线y2x2的标准方程为x2y，焦点坐标为，当y时，x，过抛物线y2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为.2与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30B2xy30C2xy10D2xy10考点直线与抛物线位置关系题点求抛物线中的直线方程答案D解析设直线方程为2xym0，由得x22xm0，44m0，m1，直线方程为2xy10.3直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A2或1B1C2D3考点直线与抛物线的位置关系题点弦中点问题答案C解析联立消去y得k2x2(4k8)x40，(4k8)216k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2，即x1x24，x1x24，k2或1，经判别式检验知k2符合题意4已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点个数问题答案C解析直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y22px的内部，当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点5经过点P(2,1)且斜率为k的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则k的取值范围为()A0，1B.C.D.考点题点答案D解析经过点P(2,1)且斜率为k的直线l的方程可设为yk(x2)1，代入抛物线方程y24x，整理可得k2x2(4k22k4)x4k24k10，(*)直线与抛物线只有一个公共点等价于方程(*)只有一个根当k0时，y1符合题意；当k0时，(4k22k4)24k2(4k24k1)0，整理得2k2k10，解得k或k1.综上可得，k或k1或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点，故k.6过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2考点直线与抛物线的位置关系题点弦长问题答案B解析由直线方程为y2(x1)，联立方程得y24y80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y24，y1y28，|AB|2.7已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2答案B解析抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.8已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|2|BN|，则k的值是()A.B.C2D.考点直线与抛物线的位置关系题点综合应用答案D解析设抛物线C：y28x的准线为m：x2.直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图，过A，B分别作AMm于M，BNm于N.由|AM|2|BN|，得点B为AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2)把B(1,2)代入直线l：yk(x2)(k0)，解得k，故选D.二、填空题9直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.考点直线与抛物线的位置关系题点综合应用答案0或1解析由得k2x2(4k8)x40，当k0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k0时，由(4k8)216k20，得k1，k0或1.10抛物线焦点在y轴上，截得直线yx1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_考点直线与抛物线的位置关系题点弦长问题答案x220y或x24y解析设抛物线方程为x2ay(a0)，由得x2xa0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2a，|AB|5，得a20或4，经检验，a20或4都符合题意抛物线方程为x220y或x24y.11.如图，直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题答案48解析由消去y，得x210x90，设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，解得或|AP|10，|BQ|2，|PQ|8，梯形APQB的面积为48.三、解答题12已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合应用(1)证明如图所示，由消去x得，ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y21，y1y2.因为A，B在抛物线y2x上，所以yx1，yx2，所以yyx1x2.因为kOAkOB1，所以OAOB.(2)解设直线与x轴交于点N，显然k0，令y0，得x1，即N(1,0)因为SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，所以SOAB1.因为SOAB，所以，解得k.13已知抛物线C：y22px(p0)上的一点M(2，y0)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点D(3,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求ABF面积的最小值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题解(1)抛物线的准线方程为x，M(2，y0)到焦点的距离为23，p2，抛物线的方程为y24x.(2)设AB的方程为xmy3，由得y24my120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y212，|y1y2|，SABF|FD|y1|FD|y2|y1|y2|y1y2|4，当m0时，SABF取得最小值4.14.如图，过抛物线x24y焦点的直线依次交抛物线和圆x2(y1)21于点A，B，C，D，则|AB|CD|的值是()A8B4C2D1考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案D解析方法一特殊化(只要考查直线y1时的情形)方法二抛物线焦点为F(0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线为ykx1，与x24y联立得y2(4k22)y10，由于|AB|AF|1yA，|CD|DF|1yD，所以|AB|CD|yAyD1.15在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线相交时的其他问题解(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24.所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.因为x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线l过定点(2,0)
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