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2.1.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理？答案属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(2)特征：由部分到整体，由个别到一般知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？答案类比推理梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)(2)特征：由特殊到特殊的推理知识点三合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理(2)推理的过程1类比推理得到的结论可作为定理应用()2由个别到一般的推理为归纳推理()3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()类型一归纳推理及应用命题角度1图形中的归纳推理例1(1)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的，那么图中的所对应的运算结果是()AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D(2)n个连续自然数按规律排列(如图所示)根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次是()ABCD考点归纳推理题点归纳推理在图形中的应用答案(1)B(2)A解析(1)由图中得，A表示“|”，B表示“”，C表示“”，D表示“”，故图中所对应的运算结果分别为B*D和A*C.(2)观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2016到2018的箭头的方向依次为.反思与感悟对于图形中的归纳推理，找准规律特征是解题的关键跟踪训练1(1)设n棱柱有f(n)个对角面，则(n1)棱柱的对角面的个数f(n1)等于()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2(2)观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有_根；第n个图形中，火柴棒有_根考点归纳推理题点归纳推理在图形中的应用答案(1)C(2)133n1解析(1)对于n棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n3)个对角面，所以过n条侧棱可确定n(n3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n条侧棱共可确定个对角面，所以可得f(n1)f(n)n1，故f(n1)f(n)n1.(2)第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，猜想第n个图形有(3n1)根火柴棒命题角度2数列中的归纳推理例2已知数列an的通项公式为an(nN*)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试计算f(1)，f(2)，f(3)的值，并推测出f(n)的表达式考点归纳推理题点归纳推理在数列中的应用解因为a1，a2，a3，所以f(1)1a1，f(2)(1a1)(1a2)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)，推测f(n)(nN*)反思与感悟数列中的归纳问题要充分利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，这是检验归纳猜想是否正确的根据跟踪训练2若在数列an中，a10，an12an2(nN*)，则猜想an等于()A2n2B2n2C2n11D2n14考点归纳推理题点归纳推理在数列中的应用答案B解析a10212，a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2(nN*)类型二类比推理及应用命题角度1平面几何性质类比立体几何性质例3三角形的面积S(abc)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为四面体内切球的半径)DV(abbcac)h(h为四面体的高)考点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析设ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比：设四面体ABCD的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以V(S1S2S3S4)r.反思与感悟平面问题类比空间问题时，注意性质的相同性和相似性，注意等面积类比等体积，线线距离类比线面距离或者面面距离跟踪训练3类比平面上的命题“如果ABC的三条边BC，CA，AB上的高分别为ha，hb，hc，ABC内任意一点P到三条边BC，CA，AB的距离分别为Pa，Pb，Pc，那么1”写出空间中的命题考点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比解从四面体的四个顶点A，B，C，D分别向所对的面作垂线，垂线段长分别为ha，hb，hc，hd，P为四面体内任意一点，从点P向A，B，C，D四个顶点所对的面作垂线，垂线段长分别为Pa，Pb，Pc，Pd，那么1.命题角度2等差数列的性质类比等比数列的性质例4若数列an(nN*)是等差数列，则由bn(nN*)构造的新数列bn也是等差数列类比上述性质可得，若数列cn(nN*)是等比数列，且cn0，则由dn_(nN*)构造的新数列dn也是等比数列考点类比推理题点等差数列与等比数列之间的类比答案解析由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比由此猜想dn(nN*)反思与感悟等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加、减法运算对应等比数列的乘、除法运算，等差数列的乘、除法运算对应等比数列的乘方、开方运算跟踪训练4设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列考点类比推理题点等差数列与等比数列之间的类比答案解析等差数列类比等比数列时，和类比积，减法类比除法故类比结论得设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列.1数列2,5,11,20，x,47，中的x的值为()A28B32C33D27考点归纳推理题点归纳推理在数列中的应用答案B解析因为5231,115632,2011933，所以猜测x2034,47x35，推知x32.故选B.2若f(n)n2n21，nN*，则下列说法正确的是_f(n)可以为偶数；f(n)一定为奇数；f(n)可能为质数；f(n)一定为合数考点合情推理的应用题点合情推理在函数中的应用答案解析f(1)1212123，f(2)2222127，f(n)n(n1)21，所以f(n)有质数，也有合数，一定不是偶数，所以f(n)一定是奇数3我们把1,4,9,16,25，这些数称为正方形数，用图形表示如图所示，则第n个正方形中的点数是_考点归纳推理题点归纳推理在图形中的应用答案n2解析由题意知，第n个正方形中的点数为n2.4由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正三棱锥的类似属性是_.考点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比答案各侧面与底面所成的二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等解析等腰三角形的底与腰可分别与正三棱锥的底面与侧面类比5在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法可知，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_.考点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比答案解析通过类比可得R.证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径1合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为一、选择题1下列使用类比推理得出的结论正确的是()A若“a3b3，则ab”类比出“若a0b0，则ab”B“若(ab)cacbc”类比出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”类比出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn”考点类比推理题点类比推理的方法、形式和结论答案C解析显然A，B，D不正确，只有C正确2根据给出的数塔猜测12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110B1111111C1111112D1111113考点归纳推理题点归纳推理在数阵中的应用答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)考点合情推理的应用题点合情推理在函数中的应用答案D解析由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)4下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三角形B梯形C平行四边形D矩形考点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.5已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S(底高)可推测扇形的面积S等于()AlrB.lrC.lrD.考点类比推理题点类比推理的方法、形式和结论答案B解析扇形的弧长相当于三角形的底边长，扇形的半径相当于三角形的底边上的高，故类比三角形的面积公式可推得扇形的面积Slr.6已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b4b5b6b7b8b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a3a929Ca1a2a3a929Da1a2a3a929考点类比推理题点等差数列与等比数列之间的类比答案D7以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”12345201320142015201635794027402940318121680568060202816116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A201722015B201722014C201622015D201622014考点归纳推理题点归纳推理在数阵中的应用答案B解析由题意知，数表的每一行都是等差数列，且第1行公差为1，第2行公差为2，第3行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：(n1)2n2，第2016行只有M，则M(12016)22014201722014，故选B.8已知x0，由不等式x22，x33，可以得出推广结论xn1(nN*)，则a等于()A2nBn2C3nDnn考点归纳推理题点归纳推理在数式中的应用答案D解析再续写一个不等式：x44.由此可推得ann.9已知，若ab0且m0，则与之间的大小关系为()A相等B前者大C后者大D不确定考点合情推理的应用题点合情推理在不等式中的应用答案B解析观察题中不等式的特征，由归纳推理易得B正确二、填空题10设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般结论为_考点合情推理的应用题点合情推理在函数中的应用答案f(2n)解析由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般性结论为f(2n).11圆(xa)2(yb)2r2(r0)在点P(x0，y0)处切线的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，由此类比，椭圆1(ab0)在点P(x0，y0)处切线的方程为_考点类比推理题点平面曲线之间的类比答案1解析类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆1(ab0)在点P(x0，y0)处的切线方程为1.三、解答题12设a0，且a1，f(x).(1)求f(0)f(1)，f(1)f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明考点合情推理的应用题点合情推理在函数中的应用解(1)f(0)f(1)，f(1)f(2).(2)由(1)归纳得对一切实数x，有f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).13已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由题点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比解类比ABAC，ADBC，可以猜想在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.猜想正确如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AC，AD平面ACD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确四、探究与拓展14观察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.考点归纳推理题点归纳推理在数对中的应用答案962解析cos的最高次项的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m1284512；取0，则cos1，cos101，代入等式，得1m12801120np1，即np350(1)；取，则cos，cos10，代入等式，得m101280811206n4p21，即n4p200(2)联立(1)(2)，得n400，p50，mnp512(400)50962.15已知正项数列an满足Sn(nN*)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.考点归纳推理题点归纳推理在数列中的应用解方法一a1S1，因为a10，所以a11.当n2时，Sn，Sn1，两式相减，得an，即an，所以a22.又因为a20，所以a21，a32.又因为a30，所以a3，a42.又因为a40，所以a42.将上面4个式子写成统一的形式：a1，a2，a3，a4，由此可以归纳出an(nN*)方法二令n1，则S1，即a1a1，a1，又a10，a11.令n2，则S2，即a1a2，1a2，a2a210，即(a21)22.a20，a21，令n3，则S3，a1a2a3a3，则a3.a2a31，即(a3)23.a30，a3.令n4，则S4，a1a2a3a4a4，即a4.a2a41，即(a4)24.a40，a42.a11，a21，a3，a42.归纳可得an(nN*)
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