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中档大题分类练(一)三角函数、解三角形(建议用时:60分钟)1已知m,n,设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,求f(B)的取值范围解(1)f(x)mnsin,令2k2k,则4kx4k,kZ,所以函数f(x)单调递增区间为,kZ. (2)由b2ac可知cos B(当且仅当ac时取等号),所以0B,1f(B),综上f(B)的取值范围为.2在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos C(2bc)cos A.(1)求角A的大小;(2)若a2,求ABC面积的最大值解(1)由正弦定理可得:sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos A,从而可得:sin(AC)2sin Bcos A,即sin B2sin Bcos A,又B为三角形内角,所以sin B0,于是cos A,又A为三角形内角,所以A.(2)由余弦定理:a2b2c22bccos A得:4b2c22bc2bcbc,所以bc4(2),所以Sbcsin A2,ABC面积最大值为2.3在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知acb,sin Bsin C.(1)求cos A的值;(2)求cos的值解(1)在ABC中,由,及sin Bsin C,可得bc.由acb,得a2c.所以cos A.(2)在ABC中,由cos A,可得sin A.于是cos 2A2cos2A1,sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acossin 2Asin.4如图54所示,在四边形ABCD中,D2B,且AD1, CD3,cos B.图54(1)求ACD的面积;(2)若BC2,求AB的长解(1)因为D2B,cos B,所以cos Dcos 2B2cos2B1.因为D(0,),所以sin D.因为AD1,CD3,所以ACD的面积SADCDsin D13.(2)在ACD中,AC2AD2DC22ADDCcos D12,所以AC2.因为BC2,所以,所以AB4.(教师备选)1已知f(x)4sin xcos x2cos 2x1,x.(1)求f(x)的值域;(2)若CD为ABC的中线,已知ACf(x)max,BCf(x)min,cosBCA,求CD的长解(1)f(x)4sin xcos x2cos 2x1,化简得f(x)2sin 2x2cos 2x14sin2x1.因为x,所以2x, 当2x时,sin取得最大值1,当2x或2x时,sin取得最小值,所以sin,4sin 11,3,所以f(x)的值域为1,3 .(2)法一:因为ACf(x)max,BCf(x)min ,由(1)知,AC3,BC1 ,又因为cosBCA,根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosBCA8,所以AB2.因为AC2AB2BC2,所以ABC为直角三角形, B为直角. 故在RtABC中,BC1,BD ,所以CD.法二:由(1)知|3,|1,(),所以2(222)3,所以|.2设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,abtan A,且B为钝角(1)证明:BA;(2)求sin Asin C的取值范围解(1)证明:由abtan A及正弦定理,得,所以sin Bcos A,即sin Bsin.又B为钝角,因此A,故BA,即BA.(2)由(1)知,C(AB)2A0,所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122.因为0A,所以0sin A,因此22.由此可知sin Asin C的取值范围是.
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