FIR滤波器的设计方法.ppt

第七章FIR滤波器的设计方法 IIR滤波器优点是利用模拟滤波器的成果 可以简单 有效地完成滤波器设计 尤其是双线性变换法 没有频响混叠现象 效果很好 但它却是以牺牲相位特性为代价而获得的 因此IIR滤波器存在有明显的缺点 相位的非线性 相位不是线性的 如果要求线性相位 例如 图像处理 数据传输或要求传输的信道具有线性相位特性 则必须要加一全通网络进行相位校正 有不稳定问题 因为极点靠近单位圆 所以极点必须在单位圆内 如果由量化误差引起极点偏离的话 有可能造成系统的不稳定 采用递归结构 因为递归结构的误差是累计的 累计误差比较大时 有可能产生极限环振荡 针对以上这些不足 FIR滤波器有它独到的优点 相位严格线性 在满足一定条件下 可以保证精确的 严格的线性相位特性 采用非递归结构 非递归结构误差小 不存在输出对输入的反馈 无不稳定问题 FIR滤波器的h n 是有限长序列 除了Z 0有极点外 有限长序列的Z变换在整个Z平面收敛 所以没有不稳定问题 可用延时实现非因果系统 因为任何一个非因果有限长序列 总可以通过一定的延时转变为因果序列 可采用FFT方法过滤信号 有限长序列可以用FFT实现快速卷积 从而大大地提高运算效率 总之 FIR滤波器由于它的传递函数H z 除了原点外是没有极点的 这和所有的模拟滤波器是不同的 因而它有可能摆脱模拟滤波器的一些框框限制而实现模拟滤波器所不能实现的一些性能 例如 线性相位 实现非因果系统等 但FIR滤波器在设计时不能够从 因为FIR滤波器的系统函数是的多项式 因此 IIR滤波器中的各种变换 对于FIR滤波器的设计是不适用的 7 2线性相位FIR滤波器的特点 FIR系统的单位脉冲响应是有限长的实序列 其Z变换为 它是的阶多项式 在有限Z平面有个零点 而在原点处有阶极点 如果我们希望设计的FIR滤波器具有线性相位 则对有一定的条件要求 也就是对只有强加某些对称条件 才能保证它具有线性相位的特性 因为并不是所有的FIR滤波器都具有线性相位 FIR滤波器要具有线性相位特性 它的单位脉冲响应必须满足偶对称或奇对称的条件 即 偶对称或奇对称 FIR滤波器才具有线性相位特性 下面针对满足偶对称或奇对称的情况 分析它的相位具有什么样的特点 一 相位特点1 偶对称 其Z变换为 令 则 也可以写成 频响 我们将频响可以用幅度函数及相位函数来表示 这里要强调一下幅度函数 中的并不是的模 是一个纯实数 而且是个标量 它包括正值或负值 千万不要把幅度函数误认为是中的模 由此得到FIR滤波器具有线性相位的充要条件是 相位时延 上式两个关系表明 为偶对称中心的 当满足偶对称时 所得到的FIR滤波器是具有严格线性相位的滤波器 它的相位特性是一条直线 并具有相位时延 相位时延等于单位脉冲响应长度的一半 说明FIR 2 奇对称同理有 滤波器的输出比输入序列延时了个采样周期 相位特性如右图所示 同理有 同样我们可以把表达为 频响 具有线性相位的充要条件 当满足奇对称时 所得到的FIR滤波器同样具有严格线性相位 它的相位特性仍是一条直线 并且具有相位时延 但是它的相位在零频处有一个的截距 这说明FIR滤波器输出不仅有相位时延外 而且还有一个的固定相移 它使得所有通过滤波器的信号将产生的相移 我们称为正交变换 正交变换 通过一个网络的所有信号将产生相移 这种在所有频率上都产生相移的变换我们称为信号的正交变换 具有这种特性的网络称为正交变换网络 因此 当为奇对称时 FIR滤波器将是具有严格线性相位的正交变换网络 象差分器和希尔伯特变换器都属于这种正交变换的滤波器 第一点结论 如果满足偶对称或者奇对称 它的相位将具有线性相位的特点 即具有严格的线性相位特性 二 幅度响应的特点下面考察线性相位FIR滤波器的幅度函数 分四种情况讨论 第一种 为偶对称 N为奇数 可以证明 是偶对称的 N为奇数时 给出N 7时的示意图 n 0项与n N 1项相等 n 1与n N 2相等 因此 可以将内任何第n项和第 N 1 n 项两两合并 由于N是奇数 两两合并后还剩下中间项是单项 无法合并 并且 幅度函数表示为 进行换元 令 则上式可以改写为 上式经整理后把m代回n 最后得到幅度函数 第一种情况的约束条件 第一种情况适用于低通 高通 带通 带阻等各种滤波器的设计 当我们设计一般用途的滤波器时 多采用第一种情况 第二种 为偶对称 N为偶数 分析思想与第一种情况相同 不同的是由于N为偶数 所以可以全部两两合并为项 这时幅度函数可以表示为 令 则 因此 第二种情况的约束条件 与第一种情况相同 当时 而且对呈奇对称 当时 说明在处必然有一个零点 而且在处呈奇对称 高通和带阻滤波器在处能为零 第二种情况不宜设计高通和带阻滤波器 即在处呈奇对称 第三种 为奇对称 N为奇数 当为奇对称 N 7时如右图所示 的中间项这是奇对称的要求 将两两相等的对应项进行合并 得 令 得到第三种情况下的幅度函数 即 在处为0 并且在处呈奇对称 带通滤波器在和处的频响可以为零 第三种情况可用于带通滤波器设计 但不宜设计低通 高通和带阻滤波器 第三种情况的约束条件 第四种 为奇对称 N为偶数 当为奇对称 N 8时如右图所示 和前面讨论的第二种情况类同 全部可以两两合并 共有项 或者 整理后得到得到第四种情况的幅度函数 在处均为0 并且在这些点上呈奇对称 当时 说明在处为0 所以第四种情况不宜设计低通和带阻滤波器 第四种情况的约束条件 以上均是在线性相位条件下 对于不同的 推导出满足的不同约束条件 这些约束条件对我们设计线性相位的FIR滤波器提供了很重要的依据 因此我们在设计各种线性相位FIR滤波器时 一定要注意遵循以上四种情况给出的相应的约束条件 小结 第一种 适合设计各种滤波器 第二种 不适合设计高通 带阻滤波器 第三种 只适合设计带通滤波器 第四种 不适合设计低通 带阻滤波器 三 零点特性1 线性相位FIR滤波器的特点FIR滤波器是全零点滤波器 由于线性相位条件要求滤波器的单位脉冲响应必须具有 偶对称 或奇对称 因而线性相位FIR滤波器的零点分布具有特殊的规律 对于线性相位FIR滤波器的零点分布特性 它的传递函数应满足 如果处是的零点 即 其中 为偶对称 为奇对称 它的倒数处也必定是的零点 因为 当是实序列时 的零点必定是共轭成对的出现 如果为零点 则也必定是零点 那么和也为零 即 既不在实轴上也不在单位圆上那么零点必然是四个互为倒数的两组共轭对 这四个零点是 在单位圆上则有 即共轭对的倒数就是它们本身 所以它们的零点必然是一对共轭对 2 线性相位FIR滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对 线性相位FIR滤波器的零点分布有四种可能的情况 这时为实数零点 实数零点没有共轭部分 只有倒数部分 的共轭就是其本身 即 因此 零点则是两两成对出现 在实轴上 既在实轴上又在单位圆上这时两组四个互为倒数的共轭零点四个合为一点 此时只存在单根 有两种可能 a 位于处有单根 如上面讨论过的第三和第四种线性相位滤波器 b 位于处有单根 如上面讨论过的第二和第三种线性相位滤波器 上面我们分四种情况讨论了线性相位FIR滤波器的零点特性 具有线性相位的滤波器是FIR滤波器中最重要的一种滤波器 也是FIR滤波器中使用最广泛的一种滤波器 通过以上讨论 使我们了解了线性相位FIR滤波器的各种性能 包括相位特性 幅度特性 零点特性等 在实际使用时 可以根据具体要求选择合适类型的FIR滤波器 并在设计中注意遵照它们各自的约束条件 小结 表7 1四种线性相位FIR滤波器 7 3窗函数设计法 1 窗口法设计的基本思想如果给定所要设计的滤波器的理想频响为 要用线性相位FIR滤波器来实现 就是要寻找一个传递函数 使其频响特性 这种逼近最直接的方法是在时域寻找一个单位脉冲响应 使 但设计是在时域进行的 因而先由理想频响通过傅氏反变换得到 即 这时一对序列的傅氏变换对 由于是矩形频率特性 所以理想单位脉冲响应一定是无限长序列 而且是非因果的 是无法实现的 而我们要设计的FIR滤波器的为有限长序列 所以我们要用有限长序列去逼近无限长序列 即 为了得到一个有限长序列 我们可以用有限项去逼近它 逼近最有效的方法就是截断 这相当于在时域乘上一个有限长的矩形窗口函数 可表示为 按照窗口法设计的基本思想 我们以理想低通滤波器为例来加以讨论 例 用窗口法设计一个线性相位的低通滤波器 设其截止频率为 低通特性的群时延为 其理想频响为 解 对作傅氏反变换 是一个以为中心的偶对称的 无限长的非因果序列 要想得到有限长序列 最简单的办法就是采取截取法 把的到的一段作为 实际上就是用一矩形窗截断 为了保证设计的是线性相位滤波器 必须满足是偶对称性 群时延应该取长度的一半 即 是偶对称的 线性相位FIR低通滤波器只能属于前面讨论的第一 第二种情况 2 窗口法设计的频响我们现在进一步考察 对理想单位脉冲响应经加窗处理以后所设计出来的FIR滤波器 它对频响将产生什么影响 这种逼近的质量究竟如何呢 对逼近的好坏程度由 从公式可看出逼近程度的好坏完全取决于窗函数的频率特性 我们取窗函数为矩形窗 则矩形窗函数的频响为 我们也可以用幅度函数与相位函数来表示 即 上式中其线性相位部分 表示相位时延了长度的一半 对窗函数的频响起影响作用的是它的幅度函数 很类似于第三章中讨论的频率采样内插函数 只差一个常数 是周期的 周期从0到2 由于分子变化比分母快N倍 当很小时 则很接近函数 在之内有一主瓣 主瓣宽度 然后向两侧呈衰减震荡展开 形成许多旁瓣 如图所示 理想低通用矩形窗截断后的频响 主要讨论加窗处理后究竟对频响产生何种影响 矩形窗的频响为 理想低通的频响为 其中理想频响的幅度函数为 将 代入 则 其中 可以看出 相位函数是完全逼近 的幅度函数主要取决于窗函数的频响的幅度函数 现在定性分析一下卷积过程 我们结合几个关键频率点 说明周期卷积的过程 理想低通频响的幅度函数 矩形窗函数频响的幅度函数 a 当时 零频处的响应值应该是与乘积的积分 当 时 可以近似等于从到内的全部积分面积 所以 主瓣外的旁瓣部分负面积和正面积相抵消 而有一半旁瓣已移到通带以外 所以此时卷积出现最大值 频响的幅度函数出现正肩峰 c 当时 可以看到 这时正好与的一半重叠 b 当可以看到 这时的全部主瓣都在的通带内 由于 内旁瓣的负面积大于正面积 所以此时卷积出现最大负值 即频响的幅度函数出现负肩峰 负肩峰实际上是频率泄漏 d 当时 这时的主瓣全部移到通带外 而且通带 e 当时 随着的增大 卷积值也将伴随着的旁瓣在通带内面积的变化而变化 因此将围绕零值而摆动 由与的卷积得到的频响幅度函数如上图所示 从图中我们可以看出 的主瓣附近有长长的尾巴 这是由于窗函数频响的幅度函数当很小时 其中 N 表示用窗函数截取的长度 4 吉布斯效应 gibbs 改变N的大小 只能改变窗函数频响的幅度函数的 2 改变主瓣的宽度和绝对值的大小 当N增大时 振荡变密 主瓣变窄 但是N值的该变并不能改变主瓣与旁瓣之间的相对比例 这个相对比例是由决定而与N无关 所以N值不会改变肩峰的相对值 1 0 2 之间过零点的个数 例如 在矩形窗情况下 无论N取多大 的最大肩峰永远是8 95 也就是说总是存在有8 95 的超量 无论N值取多么大 这个超量都不会改变 这种现象称为吉布斯效应 它主要是由于截断造成尖峰而导致吉布斯效应 注意 主瓣与旁瓣的相对关系只与窗函数的形状有关 也就是指肩峰和余振只与窗函数的形状有关 吉布斯效应 指任何有限的N值 起伏的峰值大小保持不变 5 加窗处理对频响的影响由于对理想低通进行了加窗处理 因此对理想特性产生以下三点影响 使实际滤波器有了过渡带 过渡带带宽窗口函数主瓣宽度 在截止频率两旁 出现最大和最小肩峰点 在肩峰点的两侧形成长长的余振 肩峰大小影响通带的平稳性和阻带的衰减特性 特别是第一个余振0 0468使得阻带特性变坏 N与主瓣宽度的关系 如果增加截取长度N 只能缩小窗口频谱的主瓣宽度 使得的过渡带变窄 但是不能改变旁瓣与主瓣的相对关系 因此N值的改变对肩峰和余振无影响 也不能改变阻带的衰减 只有改善窗口函数的形状 才能改善滤波器的阻带衰减特性 由于理想特性在不连续点处边沿被加宽 形成一个过渡带 过渡带的宽度取决于窗口函数的主瓣宽度 即 旁瓣尽量小 要改善滤波器的阻带衰减 应尽量减少窗口频谱中的旁瓣 也即 使能量尽量集中在主瓣内 这样就可以减少肩峰和余振 提高阻带的衰减 主瓣尽量窄 为获得较陡的过渡带 主瓣的宽度尽量窄 然而在实际中 要求旁瓣尽量小 主瓣尽量窄本身就是相互矛盾的 这两个要求总是不能兼得的 在能量一定的条件下 往往需要用增加主瓣宽度来换取旁瓣的减小 改善滤波器阻带衰减特性的窗函数的改进准则 3 常用的窗口函数因为主瓣与旁瓣的关系只决定于窗口函数的形状 所以我们可以对矩形窗的形状稍作改变 来获得更好性能的滤波器 在窗口法中 往往是用加宽过渡带来换取阻带的衰减 下面我们讨论几种窗口函数 并比较它们的性能 a 矩形窗 矩形窗的主瓣宽度为 b 升余弦窗 也称海宁 Hanning 窗 升余弦窗的幅度函数 当时 因此上式也可以表达为 频谱特性如图所示 从以上两个窗函数的讨论可以得到启发 当窗函数无跳变且波形变化较慢时 频谱的余振较小 能量更多的集中在主瓣内 不过主瓣宽度会增大 c 改进的升余弦窗 也称汉明 Hamming 窗 如果对升余弦窗再做一点调整 可以得到更好的旁瓣抑制效果 从图中可以看到 由于三部分的频谱相叠加 使旁瓣大大抵消 从而使能量相当有效的集中在主瓣内 但是它的代价是使主瓣宽度增加了一倍 主瓣宽度 升余弦窗窗函数 幅度函数 改进的升余弦窗将99 96 的能量集中在主瓣内 与升余弦窗相等的主瓣宽度下 获得了更好的旁瓣抑制 主瓣宽度 d 二阶升余弦窗 也称布拉克曼 Blackman 窗 要再进一步抑制旁瓣的话 可以对升余弦窗再加一个二次谐波的余弦分量 得到的窗函数为 频谱的幅度函数为 阻带衰减最高可达到dB 但是主瓣宽度加宽 即 下图给出四种窗口函数的频谱 图中以相对衰减为纵坐标 可以看出这四种函数的旁瓣衰减逐步得到提高 但与此同时主瓣宽度也相应加宽了 是一种适应性较强的窗函数 以上几种窗函数都是以一定的主瓣加宽为代价来换取某种程度的旁瓣抑制 而凯塞窗则可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由的选择比例 因此 凯塞窗是一种适应性较强的窗函数 凯塞窗是利用零阶贝塞尔函数构成的 即 e 凯塞 Kaiser 窗 零阶贝塞尔函数可以用级数表示为 是一个可以自由选择的参数 为波形系数 选择不同的值 就可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由的进行选择 凯塞窗的函数如图所示 可以看到 凯塞窗函数是以为中心 呈偶对称的 当时 当和时 参数越大 变化得越快 频谱的旁瓣就越小 但主瓣宽度也相应增加 因而改变值可以调整主瓣宽度与旁瓣衰减之间的比例 是矩形窗接近于改进的升余弦窗与二阶升余弦窗相近 由给定的理想滤波器的频响求时域的理想单位脉冲响应 4 窗口法的设计步骤 通过过渡带和阻带最小衰减的要求 选取合适的窗口函数和序列长度N 截取 得到所设计的FIR滤波器的 检验我们所设计的线性相位FIR滤波器是否满足设计指标要求 如果不满足设计要求 可以重新选择窗函数 序列长度N和过渡带带宽 直到达到指标要求为止 7 4频率采样设计法 1 频率采样法用窗口法设计FIR滤波器的基本思想是从时域出发 使 然后对进行修正 从而使得 频率采样法则是一种频域设计方法 它从频域出发 使 一个有限长序列可以用N个频率采样值来唯一确定 那么滤波器的传递函数可以用其频响的N个采样值来完全表达 同样 对理想滤波器的频响也可以进行N个等间隔的采样 也可以用N个采样值来完全表达理想滤波器的传递函数 即 这为我们设计FIR传递函数提供了另一条途径 即直接从频域出发 使所设计的滤波器的频响的采样值 至少在采样点频率上 准确的等于理想频响的采样值 使两者具有相同的频响 即 当我们需要设计的是线性相位滤波器时 还必须注意采样值的幅度和相位一定要遵循前面所讨论过的各种约束条件 例如 设计第一类线性相位FIR滤波器 满足偶对称 N为奇数 其幅度函数应满足 若把频率采样值也用幅值和相角来表示 即 必须满足偶对称的要求 即相位满足 其它三类线性相位FIR滤波器的设计 同样也需要注意幅度与相位的约束关系 由第三章中H z 的内插公式知道 利用N个频率采样值H k 同样可以求得FIR滤波器的频响 并且将逼近 那么用频率采样法所得到的滤波器的频响究竟逼近效果如何 我们下面作进一步的考察 由表示的频响的内插公式是 其中是内插函数 从上面的内插公式可以看到 在各频率采样点上 保证了频域的完全逼近 滤波器的实际频响与理想频响完全相等 即 从而实现了在采样点上 b 在非采样点上 存在一定的逼近误差 误差的大小取决于理想频响的曲线形状 例如 当理想特性是一梯形响应 变化缓和 采样点之间起伏比较小 则采样后逼近误差较小 相反 如果是一个矩形的理想特性 采样点之间变化很剧烈 则内插值与理想值的误差较大 因而在不连续点附近会出现肩峰与起伏 下面我们介绍一种最优化技术克服这一缺点的方法 2 频率采样法的CAD最优化设计在滤波器设计中 经常需要逼近理想的矩形特性 如低通 高通 带通滤波器等 都是分段连续的理想矩形特性 理想的矩形从通带到阻带存在着突变 当采用频率采样法时 这些理想的矩形特性经过采样 在通带的边缘 由于采样点的突变 从 1 变到 0 会使内插出的频响有很大的起伏震荡 出现逼近误差 也就是说 在边缘处会产生吉布斯效应 在窗口法设计中 我们是用加宽过渡带来换取阻带的衰减的 这个概念同样可以运用在频率采样法中 由于采样点的突变发生在从通带到阻带的过渡点上 我们可以在理想矩形特性不连续点的边缘加几点过渡的采样点 如图所示 通过增加几点过渡点 可以缓和边缘处采样点之间的突变 将有效的减小起伏震荡 提高阻带的最小衰减 但过渡点取值不同效果也不同 这要借助CAD来解决 从频响的内插公式可知 任何给定频率的频响都是一组频率采样的线性组合 因此的取值可采用线性程序方法来求解最优过渡点的采样值 以使阻带的最小衰减获得最大值 同样 如果需要进一步提高阻带衰减 可以放宽过渡带 在过渡带的边缘再多设几个点 频率采样法的优点是可以直接从频域处理 并且适合于最优化设计 用选择过渡点的办法所获得频率特性效果也相当好 频率采样法的缺点是频率控制点的位置受限于频率轴上的N各采样点 采样频率只能等于 因此滤波器的截止频率不能自由取值 3 频率采样法的优缺点 频率采样法设计FIR滤波器的步骤 1 已知理想频响 截至频率 采样点数N 根据和N 对在进行采样 求得 2 利用内插公式求滤波器的传递函数 3 滤波器的频率响应其中内插函数 4 插入过渡带的采样点为了改善滤波器的频率特性 满足给定的指标要求 可以在通带和阻带之间插入一点或几点过渡带的采样点 第七章FIR滤波器的设计方法 6 用矩形窗设计一个线性相位正交变换网络 a 求h n 表达式 b N选奇数好还是选偶数好 还是性能一样好 为什么 c 若改用凯塞窗设计 求h n 的表达式 解 令这里要求设计一个线性相位正交变换网络 所以有这里显然有 表7 1四种线性相位FIR滤波器 而幅度响应所以 a b 如果N选奇数 则H 在0 均设有零点 对直流分量和半采样频率点及附近的频率分量有所抑制 但在0 两处也付出了零点的代价 而N为偶数时 H 仅在0处设置了零点 也就是说仅抑制了直流分量 因此 在几乎相同的0处边带性能的前提下 采用偶数 阶次N可以低一些 即复杂度低一些 但另一方面 如果我们从时域h n 的截断误差来看 N为奇数时 有可能有h 0 h N 1 0 而N如为偶数时 则有h 0 0 h N 1 0 也就是 五 说N为奇数时的截断误差有可能小于N为偶数的截断误差 从这一点来讲 N为奇数也许更有道理 c 采用凯塞窗其中I0 x 是零阶贝塞尔函数 7 7IIR滤波器与FIR滤波器的比较 前面我们介绍过了IIR和FIR两种滤波器传递函数的设计方法 在实际运用中应该如何去选择 下面我们对这两种滤波器的优劣做一个简单的比较 性能 滤波器在相同的阶数下 FIR滤波器有严格的线性相位 IIR滤波器的幅度特性较好 尤其适合设计幅度特性是分段常数的选频滤波器 但IIR滤波器的相位是非线性的 经济性 FIR滤波器的极点在原点 只能用较高阶数达到较好的选择性 相对IIR而言 需要用较多的存储器和较多的运算次数 IIR滤波器可以用较少阶数获得较高选择性 所用存储单元及运算次数少 经济而效率高 但却是以牺牲相位特性为代价 选择性愈好 相位失真愈严重 传递函数 FIR滤波器的传递函数是的多项式 在S平面找不到与它相对应的 IIR滤波器的传递函数是的有理分式 在S平面有与它相对应的 结构 FIR滤波器采用非递归型结构 不存在稳定性的问题 运算误差也较小 另外 FIR滤波器可以采用FFT快速算法 在相同阶数下 运算速度快 IIR滤波器采用递归型结构 极点必须在单位圆内 否则系统将不稳定 另外 由于运算过程中对序列的舍入处理 会引起极限环震荡 FIR滤波器不能借用模拟滤波器的现成设计方法 往往需要凭借经验或借助计算机进行设计 但FIR滤波器的设计较灵活 尤其频率采样设计法 设计工作 IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果 一般都可以利用AF的现成公式 数据和表格 因而运算工作量较小 由以上的简单比较可以看到IIR滤波器和FIR滤波器各有所长 所以在实际应用时应从多方面考虑加以选择 例如 从使用角度 在对相位要求不敏感的场合 如语音通讯等 选用IIR滤波器可以充分发挥其经济高效的特点 而对于图像信号处理 数据传输等以波形携带信息的系统 则对线性相位要求较高 采用FIR滤波器较好