DSP第6章数字滤波器基本结构.ppt

一 什么是数字滤波器 顾名思义 其作用是对输入信号起到滤波的作用 即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统 它的功能 把输入序列通过一定的运算变换成输出序列 不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同 第一节离散时间系统结构的表示方法 第六章数字滤波器结构DF DigitalFilter 一 IIRDF特点 1 单位冲激响应h n 是无限长的n 2 系统函数H z 在有限长Z平面 0 Z 有极点存在 3 结构上存在输出到输入的反馈 也即结构上是递归型的 4 因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内 第二节IIRDF的基本结构 二 IIRDF系统函数及差分方程 若一系统差分方程为 则系统函数可表示为 以下我们讨论M N情况 三 IIRDF基本结构IIRDF类型有 直接型 级联型 并联型 直接型结构 直接I型 直接II型 正准型 典范型 1 直接型1 直接I型IIRDF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式 用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构 即由差分方程直接实现 a 直接I型流图 方程看出 y n 由两部分组成 第一部分是一个对输入x n 的M节延时链结构 即每个延时抽头后加权相加 即是一个横向网络 第二部分是一个N节延时链结构网络 不过它是对y n 延时 因而是个反馈网络 b 结构的特点 此结构的特点为 1 两个网络级联 第一个横向结构M节延时网络实现零点 第二个有反馈的N节延时网络实现极点 简单直观 2 共需 N M 级延时单元 3 系数ai bi不是直接决定单个零极点 因而不能很好地进行滤波器性能控制 4 极点对系数的变化过于灵敏 从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏 也就是对有限精度 有限字长 运算过于灵敏 容易出现不稳定或产生较大误差 2 直接II型 正准型 典范型 a 直接II型原理 从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络 即两个子系统 原理 一个线性时不变系统 若交换其级联子系统的次序 系统函数不变 把此原理应用于直接I型结构 即 1 交换两个级联网络的次序 2 合并两个具有相同输入的延时支路 得到另一种结构即直接II型 第一部分 第二部分 对调 b 直接II型的结构流图过程1 对调 x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 第一部分 第二部分 对调 x n y n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 Z 1 对调 c 直接II型的结构流图过程2 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n y n 由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链 可以合并为一条即可 这就是直接II型的结构流图 d 直接II型特点 直接II型结构特点 1 两个网络级联 第一个有反馈的N节延时网络实现极点 第二个横向结构M节延时网络实现零点 2 实现N阶滤波器 一般N M 只需N级延时单元 所需延时单元最少 故称典范型 3 同直接I型一样 具有直接型实现的一般缺点 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n 例子 已知IIRDF系统函数 画出直接I型 直接II型的结构流图 解 为了得到直接I II型结构 必须将H z 代为Z 1的有理式 x n 8 4 11 Z 1 Z 1 y n 5 4 3 4 Z 1 Z 1 Z 1 1 8 Z 1 2 5 4 Z 1 Z 1 Z 1 3 4 1 8 4 11 2 8 y n x n 注意反馈部分系数符号 作业 195 直接I型 直接II型 2 级联型结构 1 系统函数因式分解 一个N阶系统函数可用它的零 极点来表示即系统函数的分子 分母进行因式分解 2 系统函数系数分析 3 基本二阶节的级联结构 4 滤波器的基本二阶节 所以 滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成 这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节 即滤波器的二阶节 一个基本二阶节的系统函数的形式为 一般用直接II型 正准型 典范型表示 x n 1k a2k Z 1 Z 1 a1k 2k y n 5 用二阶节级联表示的滤波器系统 整个滤波器则是多个二阶节级联 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 从级联结构中看出 a 它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点 b 调整 1i 2i 只单独调整滤波器第i对零点 而不影响其它零点 调整a1i a2i 只单独调整滤波器第i对极点 而不影响其它极点 级联结构特点 a 每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点 有利于控制频率响应 b 同一个系统函数H Z 分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式 以及各二阶节的排列次序不同 就得到不同的二阶节 实际工作时 由于二进制数的字长有一定限度 因此不同的排列 运算误差就会各不相同 如何才能得到最好的排列 以便运算误差最小 这是最优化问题 c 级联的各基本节间要有电平的放大或缩小 以使级间输出变量不要太大或太小 级间输出变量大大 易使数字滤波器在运算过程中产生溢出 级间输出变量大小 则输出端的信号噪声比会太小 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 例子 设IIR数字滤波器系统函数为 1 Z 1 1 1 1 Z 1 Z 1 1 1 y n x n 3 并联型 1 系统函数的部分分式展开 将系统函数展成部分分式的形式 用并联的方式实现DF 相加 在电路中实现用并联 如果遇到某一系数为复数 那么一定有另一个为共轭复数 将它们合并为二阶实数的部分分式 2 并联型基本二阶节结构 并联型的基本二阶节的形式 其中 要求分子比分母小一阶 x n 0k 2k Z 1 Z 1 1k 1k y n 注意 1 为什么二阶节是最基本的 因为二阶节是实系数 而一阶节一般为复系数 2 统一用二阶节表示 保持结构上的一致性 有利于时分多路复用 3 级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的 3 基本二阶节的并联结构 AN1 Z 1 a1 x n aN1 11 Z 1 Z 1 A1 11 y n A0 01 21 1N2 2N2 0N2 1N2 其实现结构为 特点 1 可以单独调整极点位置 但不能象级联那样直接控制零点 因为只为各二阶节网络的零点 并非整个系统函数的零点 2 其误差最小 因为并联型各基本节的误差互不影响 所以比级联误差还少 若某一支路a1误差为1 但总系统的误差仍可达到少1 因为分成a1 a2 支路 5 例子 其并联结构为 x n Z 1 Z 1 1 4 y n 1 6 1 6 1 Z 1 作业 本节总结 IIRDR的三种结构及其优缺点一 直接型二 级联型三 并联型 一 直接I结构的特点 此结构的特点为 1 两个网络级联 第一个横向结构M节延时网络实现零点 第二个有反馈的N节延时网络实现极点 简单直观 2 共需 N M 级延时单元 3 系数ai bi不是直接决定单个零极点 因而不能很好地进行滤波器性能控制 4 极点对系数的变化过于灵敏 从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏 也就是对有限精度 有限字长 运算过于灵敏 容易出现不稳定或产生较大误差 级联结构特点 a 每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点 有利于控制频率响应 b 同一个系统函数H Z 分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式 以及各二阶节的排列次序不同 就得到不同的二阶节 实际工作时 由于二进制数的字长有一定限度 因此不同的排列 运算误差就会各不相同 如何才能得到最好的排列 以便运算误差最小 这是最优化问题 c 级联的各基本节间要有电平的放大或缩小 以使级间输出变量不要太大或太小 级间输出变量大大 易使数字滤波器在运算过程中产生溢出 级间输出变量大小 则输出端的信号噪声比会太小 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 二 级联型 三 并联结构 AN1 Z 1 a1 x n aN1 11 Z 1 Z 1 A1 11 y n A0 01 21 1N2 2N2 0N2 1N2 其实现结构为 特点 1 可以单独调整极点位置 但不能象级联那样直接控制零点 因为只为各二阶节网络的零点 并非整个系统函数的零点 2 其误差最小 因为并联型各基本节的误差互不影响 所以比级联误差还少 若某一支路a1误差为1 但总系统的误差仍可达到少1 因为分成a1 a2 支路 一 FIRDF的特点 1 系统的单位冲激响应h n 在有限个n值处不为零 即h n 是个有限长序列 2 系统函数 H z 在 z 0处收敛 极点全部在z 0处 即FIR一定为稳定系统 3 结构上主要是非递归结构 没有输出到输入反馈 但有些结构中 例如频率抽样结构 也包含有反馈的递归部分 第三节FIRDF的结构 有限长冲激响应滤波器 二 FIR的系统函数及差分方程 长度为N的单位冲激响应h n 的系统函数为 三 FIR滤波器实现基本结构 1 FIR的横截型结构 直接型 2 FIR的级联型结构3 FIR的频率抽样型结构 1 FIR直接型结构 卷积型 横截型 1 流图 h 0 h 1 h 2 h N 2 h N 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 x n h 0 h 1 h N 2 h N 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n 2 级联型结构 1 流图 当需要控制滤波器的传输零点时 可将H z 系统函数分解成二阶实系数因子的形式 即可以由多个二阶节级联实现 每个二阶节用横截型结构实现 x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 1 由于这种结构的每一节控制一对零点 因而只能在需要控制传输零点时用 2 由于这种结构所需的系数比直接型多 所需乘法运算也比直接型多 很少用 作业 3 频率抽样型结构 1 频率抽样型结构的导入 若FIRDF的冲激响应为有限长 N点 序列h n 则有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽样 单位圆上频响 Z变换 内插 所以 对h n 可以利用DFT得到H k 再利用内插公式 来表示系统函数 2 频率抽样型滤波器结构 得到FIR滤波器提供另一种结构 频率抽样型结构 它是由两部分级联而成 其中 级联中的第一部分为梳状滤波器 第二部分由N个谐振器组成的谐振柜 3 梳状滤波器 a 零 极点特性 它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器 它在单位圆上有N个等分的零点 无极点 b 幅频特性及流图 频率响应为 w H ejw 0 幅频曲线 1 x n y n Z N 梳状滤波器信号流图 4 谐振器 谐振器 是一个阶网络 Z 1 H k Hk z 谐振器的零极点 此为一阶网络 有一极点 5 谐振柜 谐振柜 它是由N个谐振器并联而成的 这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点 i k 相抵消 从而使这个频率 w 2 k N 上的频率响应等于H k 将两部分级联起来 得到频率抽样结构 6 频率抽样型结构流图 Z 1 H 0 Z 1 H 1 Z 1 H 2 Z 1 H N 1 Z N x n y n 优点 1 它的系数H k 直接就是滤波器在处的频率响应 因此 控制滤波器的频率响应是很直接的 结构有两个主要缺点 a 所有的相乘系数及H k 都是复数 应将它们先化成二阶的实数 这样乘起来较复杂 增加乘法次数 存储量 b 所有谐振器的极点都是在单位园上 由决定 考虑到系数量化的影响 当系数量化时 极点会移动 有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消 零点由延时单元决定 不受量化的影响 系统就不稳定了 优点 2 只要h n 相同长度 对于任何频响形状 其梳状滤波器部分和N各一节网络部分结构完全相同 只有各支路增益H k 不同 7 修正的频率抽样结构 a 产生的原因 为了克服系数量化后可能不稳定的缺点 将频率抽样结构做一点修正 即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位圆 半径为r r 1 的园上 同时梳状滤波器的零点也移到r圆上 即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上 b 修正的频率抽样结构的系统函数 为了使系数是实数 可将共轭根合并 这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布 c 修正的频率抽样结构的系统极点分布 0 z r N 8 d 修正频率结构的复根部分 第k和第N k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络 因为h n 是实数 它的DFT也是圆周共轭对称的 因此 可以将第k和第N k个谐振器合并为一个二阶网络 e 有限Q的谐振器 第k和第N k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位圆内 而不是在单位圆上 因而从频率响应的几何解释可知 它相当于一个有限Q的谐振器 其谐振频率为 f 修正频率抽样结构的谐振器的实根部分 除了共轭复根外 还有实根 当N 偶数时 有一对实根 它们分别为两点 当N 奇数时 只有一个实根z r k 0 即只有H0 z r r g 修正频率抽样结构流图 N 偶数 r r x n y n h 修正频率抽样结构流图 N 奇数 r x n y n i 修正频率抽样结构的特点 1 结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分 梳状滤波器 2 它的零 极点数目只取决于单位抽样响应的长度 因而单位冲激响应长度相同 利用同一梳状滤波器 同一结构而只有加权系数 0k 1k H 0 H N 2 不同的谐振器 就能得到各种不同的滤波器 3 其结构可以高度模块化 适用于时分复用 j 频率抽样结构的应用范围 1 如果多数频率特性的采样值H k 为零 例 窄带低通情况下 这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器 因而可以比直接型少用乘法器 但存储器还是比直接型多用一些 2 可以共同使用多个并列的滤波器 例 信号频谱分析中 要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来 这时可采用频率采样结构的滤波器 大家共用一个梳状滤波器及谐振柜 只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器 这样结构具有很大的经济性 3 常用于窄带滤波 不适于宽带滤波 4 快速卷积结构 1 原理 设FIRDF的单位冲激响应h n 的非零值长度为M 输入x n 的非零值长度为N 则输出y n x n h n 且长度L N M 1若将x n 补零加长至L 补L N个零点 将h n 补零加长至L 补L M个零点 这样进行L点圆周卷积 可代替x n h n 线卷积 其中 而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算 即可得到FIR的快速卷积结构 2 快速卷积结构框图 L点DFT L点DFT L点IDFT X k H k Y k x n h n 当N M中够大时 比直接计算线性卷积快多了 5 线性相位FIR型结构 1 定义 所谓线性相位 是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系 2 线性相位FIRDF具有特性 h n 是因果的 为实数 且满足对称性 即满足约束条件 h n h N 1 n 其中 h n 为偶对称时 h n h N 1 n h n 为奇对称时 h n h N 1 n 下面我们针对h n 奇 偶进行讨论 3 h n 为偶 奇对称 N 偶数时 a FIR的线性相位的特性 令n N 1 n代入 用n n 应用线性FIR特性 h n h N 1 n b 线性相位FIR的结构流图 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n x n N 2 1 h 0 h 1 h 2 h 3 h N 2 1 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 4 h n 为奇 偶对称 N 奇数时 a FIR的线性相位的特性 当N 奇数时 有一中间项h N 1 2 无法合并 需提出 b 线性相位FIR的结构流图 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n h 0 h 1 h 2 h 3 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 h N 3 2 h N 1 2 共有 N 3 2项 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 5 总结 h n 为偶对称 N 奇 偶数时FIR的线性相位的特性 同理 当h n 偶对称时 即h n h N 1 n 可求出 N 奇数时 6 h n 为奇对称 N 奇 偶数时FIR的线性相位的特性 同理 当h n 奇对称时 即h n h N 1 n 可求出 N 奇数时 总结本章主要的内容 1 IIR滤波器实现的基本结构2 FIR滤波器实现的基本结构3 一种特殊的滤波器结构实现形式 格型滤波器结构 1 IIRDF基本结构 IIRDF类型有 直接型直接型结构 直接I型 直接II型 正准型 典范型 级联型并联型 直接I型直接I型流图 IIRDF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式 用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构 即由差分方程直接实现 x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 方程看出 y n 由两部分组成 第一部分是一个对输入x n 的M节延时链结构 即每个延时抽头后加权相加 即是一个横向网络 第二部分是一个N节延时链结构网络 不过它是对y n 延时 因而是个反馈网络 直接II型的结构流图 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n 由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链 可以合并为一条即可 这就是直接II型的结构流图 级联型 级联型的基本二阶节 所以 滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成 这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节 即滤波器的二阶节 一个基本二阶节的系统函数的形式为 一般用直接II型 正准型 典范型表示 x n 1i a2i Z 1 Z 1 a1i 2i y n 级联型二阶节表示的滤波器系统 整个滤波器则是多个二阶节级联 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 并联型 将系统函数展成部分分式的形式 用并联的方式实现DF 相加 在电路中实现用并联 如果遇到某一系数为复数 那么一定有另一个为共轭复数 将它们合并为二阶实数的部分分式 并联型基本二阶节结构 并联型的基本二阶节的形式 其中 要求分子比分母小一阶 x n 0 a2 Z 1 Z 1 a1 1 y n 二 FIR滤波器 长度为N的单位冲激响应h n 的系统函数为 FIR滤波器实现基本结构 1 FIR的横截型结构 直接型 2 FIR的级联型结构 3 FIR的线性型结构 4 FIR的频率抽样型结构 5 FIR的轨迹卷积型结构 1 FIR直接型结构 卷积型 横截型 h 0 h 1 h 2 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 h 0 h 1 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n x n 2 级联型结构 当需要控制滤波器的传输零点时 可将H z 系统函数分解成二阶实系数因子的形成 即可以由多个二阶节级联实现 每个二阶节用横截型结构实现 x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 3 线性相位FIR型结构 所谓线性相位 是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系 h n 为偶数 N 奇 偶数时FIR的线性相位的特性 同理 当h n 偶对称时 即h n h N 1 n 可求出 N 奇数时 h n 为奇数 N 奇 偶数时FIR的线性相位的特性 当h n 奇对称时 即h n h N 1 n 可求出 N 奇数时 4 快速卷积结构 设FIRDF的单位冲激响应h n 的非零值长度为M 输入x n 的非零值长度为N 则输出y n x n h n 且长度L N M 1若将x n 补零加长至L 补L N个零点 将h n 补零加长至L 补L M个零点 这样进行L点圆周卷积 可代替x n h n 线卷积 其中 而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算 即可得到FIR的快速卷积结构 2 快速卷积结构框图 L点DFT L点DFT L点DFT X k H k Y k x n h n 当N M中够大时 比直接计算线性卷积快多了 5 频率抽样型结构 若FIRDF的冲激响应为有限长 N点 序列h n 则有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽样 单位园上频响 Z变换 内插 所以 对h n 可以利用DFT得到H k 再利用内插公式 来表示系统函数 3 梳状滤波器 a 零 极点特性 它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器 它在单位园上有N个等分的零点 无极点 由 看出 6 频率抽样型结构流图 Z 1 W k H 0 Z 1 W k H 1 Z 1 W k H 2 Z 1 W k H N 1 Z N x n y n 一 全零点 IIR 格型滤波器 一个M阶的FIR滤波器的系统函数H z 可写成如下形式 全零点格型滤波器网络结构 二 全极点 IIR 格型滤波器 IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数 可以根据FIR格型结构开发 设一个全极点系统函数由下式给定 全极点 IIR 滤波器格型结构