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第六章 不等式、推理与证明单元过关检测(六) (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018中山模拟)已知a,b,cR,则下列命题正确的是()A.abac2bc2B.abC.D.【解析】选C.当c=0时,ac2=0,bc2=0,故由ab不能得到ac2bc2,故A错误;当ca0或故选项D错误,C正确.2.设集合A=,B=,则AB=()A.B.C.D.【解析】选D.因为A=,所以AB=.3.(2018长沙模拟)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.0B.1C.D.2【解析】选D.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.作直线x+2y=0并上下平移,易知当直线过点A(0,1)时,z=x+2y取最大值,即zmax=0+21=2.【变式备选】(2018深圳模拟)若实数x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.-8B.-6C.-2D.4【解析】选D.作出约束条件所对应的可行域,如图ABC:变形目标函数可得y=2x-z,平移直线y=2x可知,当直线经过点C(3,2)时,直线的截距最小,z取最大值,代值计算可得z=2x-y的最大值为zmax=23-2=4.4.(2018沈阳模拟)实数x,y满足则z=|x-y|的最大值是()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.依题意画出可行域如图中阴影部分所示,令m=y-x,则m为直线l:y=x+m在y轴上的截距,由图知在点A(2,6)处m取最大值4,在C(2,0)处取最小值-2,所以m-2,4,所以z的最大值是4.【变式备选】(2018南阳模拟)若x,y满足约束条件则(x+2)2+(y+3)2的最小值为()A.1B.C.5D.9【解析】选B.不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,由题意可知点P(-2,-3)到直线x+y+2=0的距离为=,所以(x+2)2+(y+3)2的最小值为=.5.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选C.因为大前提的形式:“有些有理数是真分数”,不是全称命题,所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误.6.(2018武汉模拟)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为()A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,c都是偶数【解析】选B.因为“恰有一个”的否定是“至少有两个”或“一个也没有”,因此选B.【变式备选】(2018重庆模拟)用反证法证明命题:“若a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且ac+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”的假设为()A.a,b,c,d中至少有一个正数B.a,b,c,d全都为正数C.a,b,c,d全都为非负数D.a,b,c,d中至多有一个负数【解析】选C.用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定是“a,b,c,d全都为非负数”.7.(2018南昌模拟)已知a-1,b-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为a-1,b-2,所以a+10,b+20,又(a+1)(b+2),即16,整理得a+b5,当且仅当a+1=b+2=4,即a=3,b=2时等号成立.8.某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛.该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛,其中有两个班获奖.比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是()世纪金榜导学号37680786A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙【解析】选B.由题意知乙与丁的说法同时正确或同时错误,若乙丁同时正确,根据乙的说法“2班没有获奖,3班获奖了”中奖情况有两种:1班和3班获奖或者4班和3班获奖,两种情况都说明丙同学的说法正确,这样就有丙乙丁三位同学的说法正确,所以不合题意,故只能乙丁两位同学说法同时错误,从而知甲丙两位同学说法正确.9.(2018太原模拟)观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】选D.由(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x可归纳得偶函数的导数为奇函数,由f(-x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数,所以导函数g(x)为奇函数.10.设点(x,y)在不等式组所表示的平面区域上,若对b0,1时,不等式ax-byb恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.(4,+)D.(2,+)【解析】选C.作出不等式组对应的平面区域,如图所示,当b=0时,ax0,所以a0;当b0时,yx-1,当a0时,B(1,3)在yx-1的下方即可,即34b,因为04.综上,a4.11.(2018晋城模拟)在R上定义运算:=ad-bc,若不等式1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为()A.-B.-C.D.【解题指南】本题根据新定义把不等式建立起来,然后分离变量.【解析】选D.由定义知,不等式1等价于x2-x-(a2-a-2)1,所以x2-x+1a2-a对任意实数x恒成立.因为x2-x+1=+,所以a2-a,解得-a,则实数a的最大值为.12.(2018长春模拟)若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+m2-3m有解,则实数m的取值范围是()A.(-1,4)B.(-,-1)(4,+)C.(-4,1)D.(-,0)(3,+)【解析】选B.因为不等式x+m2-3m有解,所以0,y0,且+=1,所以x+=+22+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,所以=4,所以m2-3m4,即(m+1)(m-4)0,解得m4,故实数m的取值范围是(-,-1)(4,+).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2018天津模拟)若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,则ax+30的解集为_.【解析】由题意可知=(-2a)2-4(a-2)(a+1)=a+20,所以a0得x0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为()A.(0,2)B.C.D.【解析】选B.约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:ax+y=0,过点(1,1)作l的平行线l,要满足题意,则直线l的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-a0,即0a0.(2)若不等式f(x)b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.【解析】(1)因为f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,所以f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+30,即a2-6a-30,解得3-2a3+2.所以不等式的解集为a|3-2ab的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以解得故a的值为3+或3-,b的值为-3.18.(12分)(2018开封模拟)已知x,y,z0,x+y+z=3.(1)求+的最小值.(2)证明:3x2+y2+z20,所以xy+xz+yz0.所以x2+y2+z2=9-2(xy+xz+yz)9.所以3x2+y2+z20,y0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x0,y0,则1=+2=,得xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由(1)知+=1,则x+y=(x+y)=10+10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.20.(12分)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,aR. (1)若a=2,试求函数y=(x0)的最小值.(2)对于任意的x0,2,不等式f(x)a成立,试求a的取值范围.【解析】(1)依题意得y=x+-4.因为x0,所以x+2.当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以y-2.所以当x=1时,y=的最小值为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“对任意的x0,2,不等式f(x)a成立”只要“x2-2ax-10在0,2恒成立”.不妨设g(x)=x2-2ax-1,则只要g(x)0在0,2上恒成立即可.所以即解得a,则a的取值范围为.21.(12分)(2018衡阳模拟)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.【解析】设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,由题意知,作出可行域如图所示.作出直线l:80x+60y=0并平移,由图形知,当直线经过点M时,z取得最大值,由解得即M(9,4).所以zmax=809+604=960(万元),所以搭载9件A产品,4件B产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.22.(12分)(2018东莞模拟)已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列an的通项公式.(2)证明:+1.【解析】(1)设等差数列log2(an-1)的公差为d.由a1=3,a3=9得log22+2d=log28,即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)因为=,所以+=+=1-1.
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