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专题09 牛顿运动定律的应用之动力学中的临界和极值问题重难讲练临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变.1. 临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，即表明题述的过程存在着临界点。(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往对应临界状态。(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。2. 常见的三类临界问题的临界条件：(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零(3)存在静摩擦的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值3. 临界问题的常用解法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。【典例1】如图所示，质量m2 kg的小球用细绳拴在倾角37的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面。取g10 m/s2。下列说法正确的是()A.当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为20 NB.当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为30 NC.当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为40 ND.当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为60 N【答案】A【解析】小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零。斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0。以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有Fcos ma0，Fsin mg0代入数据解得a013.3 m/s2。甲代入数据解得F120 N。选项A正确，B错误。乙(2)由于a220 m/s2a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示。设绳子与水平方向的夹角为。以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F2cos ma2，F2sin mg0代入数据解得F220 N。选项C、D错误。【典例2】如图所示，质量为m的球置于斜面上，被一个竖直挡板挡住。现用一个力F拉斜面，使斜面在水平面上做加速度为a的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法正确的是()A.若加速度足够小，竖直挡板对球的弹力可能为零B.若加速度足够大，斜面对球的弹力可能为零C.斜面和挡板对球的弹力的合力等于maD.斜面对球的弹力不仅有，而且是一个定值【答案】D不可能为零，选项A错误；斜面和挡板对球的弹力的合力即为竖直方向的分力FN2cos 与水平方向的合力ma的合成，因此大于ma，选项C错误。【典例3】如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以V0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数。重力加速度g取10 m/s2.（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？【答案】（1）3m/s2 8m/s (2)【解析】（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得 联立得 （2）设物块所受支持力为，所受摩擦力为，拉力与斜面间的夹角为，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得 又 联立式得 由数学知识得 由式可知对应F最小的夹角为 联立式，代入数据得F的最小值为 【跟踪训练】1. 如图所示，在粗糙的水平路面上，一小车以v04 m/s的速度向右匀速行驶，与此同时，在小车后方相距s040 m处有一物体在水平向右的推力F20 N作用下，从静止开始做匀加速直线运动，当物体运动了x125 m撤去。已知物体与地面之间的动摩擦因数0.2，物体的质量m5 kg，重力加速度g10 m/s2。求 (1)推力F作用下，物体运动的加速度a1大小；(2)物体运动过程中与小车之间的最大距离；(3)物体刚停止运动时与小车的距离d。【答案】(1)2 m/s2(2)44 m(3)30 m【解析】(1)对物体，根据牛顿第二定律得Fmgma1代入数据得a12 m/s2。(2)当物体速度v1v0时，物体与小车间距离最大，即t1 s2 s时，两者之间最大距离xmaxs0v0t1t140 m42 m4 m44 m。(3)设推力作用的时间为t2，根据位移公式得x1a1t则t2 s5 s速度v2a1t225 m/s10 m/s而t3 s5 s。物体运动的总时间tt2t310 s则dv0ts0(x1x2)30 m。2. 一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度如图所示现让木板由静止开始以加速度a(ag)匀加速向下移动求经过多长时间木板开始与物体分离【答案】【解析】 设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg、弹簧的弹力F=kx、平板的支持力N的作用。根据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma，得N=mg-kx-ma.当物体与平板分离的瞬间，N=0，但此瞬时物体与平板仍有相同的加速度，故此时。因为，故 3. 如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为的固定斜面，斜面上放一质量为m的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为v。图9(1)求箱子加速阶段的加速度大小a；(2)若agtan ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。【答案】(1)(2)0m(g)【解析】(1)由匀变速直线运动的公式有v22ax1，v22ax2，且x1x2s解得：a(2)假设球刚好不受箱子作用，应满足FNsin ma0，FNcos mg，解得a0gtan ，箱子减速时加速度水平向左，当agtan 时，箱子左壁对球的作用力为零，顶部对球的力不为零。此时球受力如图，由牛顿第二定律得FNcos FmgFNsin ma解得Fm(g)模拟提升1（2019届吉林省长春市田家炳实验中学高三上第一次调研）如图所示，一细线的一端固定于倾角为45的光滑楔形滑块A上的顶端O处，细线另一端拴一质量为m=0.2kg的小球静止在A上。若滑块从静止向左匀加速运动时加速度为a。(取）则（ ）A 当a=5m/s2时，线中拉力为 B 当a=10m/s2时, 小球受的支持力为C 当a=12m/s2时, 经过1秒钟小球运动的水平位移是6mD 在稳定后，地面对A的支持力一定小于两个物体的重力之和【答案】A【解析】当小球对斜面的压力恰为零时，对小球受力分析，受重力、拉力，根据牛顿第二定律与力的平行四边形定则，将拉力和重力合成，合力即为mg，有：水平方向：F合=Fcos45=ma；竖直方向：Fsin45=mg；解得：a=g=10m/s2；当a=5m/s2时，小球没有脱离斜面，此时对小球：Fcos450-FNsin450=ma；Fsin450+FNcos450=mg，解得线中拉力为,选项A正确；项C错误；虽然水平方向有加速度，但是对整体竖直方向处于平衡状态，则在稳定后，地面对A的支持力一定等于两个物体的重力之和，选项D错误；故选A.2（2019届湖南省衡阳市第八中学高三上第二次月考）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m， 静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为，B与地面间的动摩擦因数为。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g。现对A施加一水平拉力F，则下列说法中正确的是（ ）A 当F3mg时，A相对B滑动D 无论F为何值，B的加速度不会超过g【答案】BCD【解析】A、设B对A的摩擦力为f1，A对B的摩擦力为f2，地面对B的摩擦力为f3，由牛顿第三定律可知f1与f2大小相等，方向相反，f1和f2的最大值均为2mg，f3的最大值为故当时，A、B均保持静止；继续增大F，在一定范围内A、B将相对静止以共同的加速度开始运动，故A错误；B、设当A、B恰好发生相对滑动时的拉力为F，加速度为a，则对A，有F-2mg=2ma，对A、B整体， D、对B来说，其所受合力的最大值，即B的加速度不会超过，故D正确.故选BCD.3（2019届江西省分宜中学高三第一次段考）如图所示，质量均为M的物块A、B叠放在光滑水平桌面上，质量为m的物块C用跨过轻质光滑定滑轮的轻绳与B连接，且轻绳与桌面平行，A、B之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）A 物块A运动的最大加速度为B 要使物块A、B发生相对滑动，应满足关系C 若物块A、B未发生相对滑动，物块A受到的摩擦力为D 轻绳对定滑轮的作用力为【答案】ACD【解析】设A、B相对静止时A、B的共同加速度为a，绳对C的拉力为T，B对A的摩擦力为f。根据题意可知此时C的加速度大小也为a（方向向下）；取C为研究对象，根据牛顿第二定律可得mg-T=ma，解得T=mg-ma ；取AB整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：T=2Ma ；取B为研究对象，根据牛顿第二定律可得：f=Ma ；联立得： D、因为绳对C的拉力T=mg-ma，所以绳对滑轮的力；故D正确.故选ACD.4（2019届安徽省皖中名校联盟高三第一次联考）如图所示，在倾角为37的足够长的光滑斜面上，放一质量为 mA=0.2kg的薄板A， A板上、下段由不同材料构成，下段表面光滑，长度 l=3m，上段表面粗糙；质量为 mB=2.0kg 的金属块 B(视为质点）位于A的最下端，B与 A上段间的动摩擦因数=0.1；质量为 mC=1.2kg 的物块 C通过轻线绕过定滑轮与 B相连。忽略滑轮质量及轴间的摩擦，A、B间最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。开始时，整个系统在外力作用下，处于静止状态，轻线被拉直。(sin370=0.6， cos370=0.8，g=10m/ s2。)求：（1）撤去外力的瞬间，A、 B、 C的加速度分别是多大；（2）B刚到达A的粗糙部分时，A、 B、 C的加速度分别是多大；（3）撤去外力后的整个过程中，因摩擦产生的热量Q，绳足够长，B始终没滑出A板【答案】（1） （2） （3）11.52J【解析】（1）由于mBgsin37=mcg=12N 所以，撤去外力的瞬间aB=ac=0对薄板A，有mAgsin37=mAaA得aA=6m/s2（2）由于斜面和A板下段表面都光滑，撤去外力后，A板从静止开始向下做匀加速运动，只要金属块B在A板下段表面上，B、C就保持静止不动A板运动到金属块B在其上段表面上后，B和C受滑动摩擦力作用将一起以相同大小的加速度做加速运动设A板上段刚滑到B下方时速度为vA，则vA22aAl解得vA=6m/sB在A板上端表面时，设A板加速度为aA1，B和C加速度为aB1，轻线拉力为F，则mAgsin37-mBgcos37=mAaAmBgsin37+mBgcos37-F=mBaB1F-mCg=mCaB1解得aA1=-2m/s2，aB1 =aC1=0.5m/s2（3）A、B、C最终达到速度相等假设速度相等之后，A、B间的静摩擦力f小于最大静摩擦力fm，即A、B相对静止，A、B、C三者加速度大小相同，设为a0，则（mA+mB）gsin37-mCg=（mA+mB+mC）a0mAgsin37-f=mAa0a0=0.5m/s2，f=1.1Nfm=mBgcos37=1.6N即ffm，假设成立，之后A、B相对静止设A、B、C达到相等速度v1所需时间为t，则v1=vA+aA1t=aB1t解得t=2.4s，v1=1.2m/s设在时间t内，A通过的距离是xA，B和C通过的距离是xB，则xA=（vA+v1）txB=v1t解得xA=8.64m，xB=1.44mQ=mBg（xA-xB）cos37Q=11.52J 5（2018-2019安徽省阜阳三中高三第一第二次模拟考试）如图所示，在粗糙水平面上有一质量为M=2 kg表面光滑的斜面体，斜面的倾角=37，在斜面体的左侧相距为d=2.4 m处有一固定障碍物Q。将一质量为m=0.2 kg的小物块（可视为质点）用一根轻绳（不可伸长）系住，绳的一端固定在斜面体的顶端。现给斜面体施加一个水平向左的推力F，使斜面体和小物块无相对滑动，一起向左做匀加速运动，当斜面体到达障碍物Q与其碰撞后，斜面体立即被障碍物Q锁定。已知斜面体与地面间的动摩擦因数为=0.5，重力加速度g=10 m/s2，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，求：（1）水平推力F的最大值；（2）若用最大水平推力作用在斜面体上，斜面体被障碍物Q锁定后，小物块在轻绳牵引下能沿圆周运动到竖直最高点，则绳的长度应满足的条件.（计算结果保留两位有效数字）【答案】（1）27.5N（2）L0.31m【解析】（1）由题意可知，当F最大时，小物块不受绳子的拉力，以小物块为研究对象 mgtan=ma代入数据解得：a=7.5m/s2 以小物块和斜面整体为研究对象：F（M+m）g（M+m）a解得： F=27.5N（2）在斜面体加速过程中，由速度位移关系得2ad=v2 得 v=6m/s设小物块离开斜面瞬间的速度为v1，有v1=vsin=3.6m/s小物块刚好通过最高点，设绳的长度为L小物块在最高点时： 由机械能守恒定律得 解得L=0.31m 所以L应满足L0.31m6（2019届甘肃静宁县第一中学高三上第一次模拟考试）如图所示，质量分别为2m、m的甲、乙两个物块用细绳连接放在水平面上，绳长为。现对甲施加一个水平向右的拉力F，使两物块一起向右做匀加速运动，经过t时间，甲、乙两物块间的细绳断开，再经过t时间，乙的速度为零，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，重力加速度为g，求：（1）物块与水平面间的动摩擦因数；（2）当乙物块速度刚好减为零时，甲、乙两物块间的距离。【答案】（1） （2）【解析】（1）对于乙物块，先做初速度为零的匀加速运动，设加速度为a1，绳断后做匀减速运动，设加速度为a2，根据题意可知 a1t=a2t设物块与水平面间的动摩擦因数为，则对整体研究：F-3mg=3ma1对乙物乙运动的位移： 当乙物块速度刚好减为零时，甲、乙两物块间的距离为：dx1+l0x27（2018安徽省六安二中河西校区高一期末）如图所示，在倾角为的光滑物块P斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B；C为一垂直固定在斜面上的挡板、C总质量为M，A、B质量均为m，弹簧的劲度系数为k，系统静止于光滑水平面现开始用一水平力F从零开始增大作用于P 物块B刚要离开C时力F从开始到此时物块A相对于斜面的位移物块A一直没离开斜面，重力加速度为【答案】（1） （2） 【解析】整体做为研究对象，刚要离开C瞬间与C的作用力为0，受力情况如图：根据力的平衡知识有：，对P、A、B整体分析受力有：联立解得：开始时弹簧压缩，有：由分析可知加速度为对B分析可知要离开时弹簧处于原长，弹力为0；所以物块A的位移：8（2019届四川外国语大学附属外国语学校高三10月月考）如图所示，在小车的倾角为300的光滑斜面上，用劲度系数为k的弹簧连接一个质量为m的物体，弹簧另一端固定在小车上；m与斜面始终保持相对静止；（1）当小车以加速度a向右运动时，求弹簧的形变量；（2）某一时刻，物体恰好脱离斜面，求小车此时的加速度；【答案】(1) ;(2) 【解析】(1)对小滑块受力分析,受重力、支持力和拉力,如图加速度水平向右,故合力水平向右,将各个力和加速度都沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解,由牛顿第二定律,得到 (2)小滑块对斜面体没有压力,则斜面体对小滑块也没有支持力,小滑块受到重力和拉力,物体的加速度水平向右,故合力水平向右,运用平行四边形定则,如图由几何关系得到 根据牛顿第二定律,得到 解得: 综上所述本题答案是(1) ;(2) 9（2019安徽省淮北一中高三第一第二次月考）如图所示，光滑水平面上有一质量为M=4kg的斜面体，倾角，斜面上放有一质量m=8kg的小物体。已知小物体与斜面之间的动摩擦因数，且最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，重力加速度g取。（1）若小物体和斜面体一起匀速向右运动，求斜面对小物体的摩擦力大小；（2）用力F水平向右拉斜面体，欲使小物体与斜面之间不发生相对滑动，求F的最大值。【答案】（1）40N（2） 【解析】（1）小物体和斜面体一起匀速向右运动时受力情况如图所示，根据平衡条件，小物体所受摩擦和大小为：，代入数据得；求出，对小物体和斜面体的整体应用牛顿第二定律有：，求得。10（2018安徽省六安二中河西校区高二下第三次月考）如图所示，一个截面是三角形的物体P平放在水平地面上，它的两个斜面与水平的夹角分别为、，且，P的顶端装有一定滑轮，一轻质细绳跨过定滑轮后连接A、B二个质量相等的滑块，连接后细绳与各自的斜面平行，所有接触面都不计摩擦，重力加速度大小为g若P固定不动，求A、B的加速度大小若P向右做匀加速运动，加速度多大时能使A、B与斜面不发生相对滑动【答案】（1） (2)【解析】固定不动，A、B的加速度大小相等，设为，以F表示绳的张力，滑块A：滑块B：解得：设P向右的加速度为a，A、B相对斜面不发生滑动时，A、B的加速度也为a，仍用F表示绳中的张力，则：滑块A沿斜面方向：滑块B沿斜面方向：解得：。
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