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微型专题1运动的合成与分解学习目标1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.2.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.一、运动描述的实例蜡块运动的研究1.蜡块的位置：如图1所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：xvxt，yvyt.图12.蜡块的速度：大小v，方向满足tan.3.蜡块运动的轨迹：yx，是一条过原点的直线.二、运动的合成与分解1.合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.2.运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解.3.运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则(或三角形定则).1.判断下列说法的正误.(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等.()(2)合运动一定是实际发生的运动.()(3)合运动的速度一定比分运动的速度大.()(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动.()2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1m/s的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30角，如图2所示.若玻璃管的长度为1.0m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别约为()图2A.0.1m/s,1.73mB.0.173m/s,1.0mC.0.173m/s,1.73mD.0.1m/s,1.0m答案C解析设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为x1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为v2，位移为x2，如图所示，v2m/s0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间ts10s.由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为10s.水平运动的距离x2v2t0.17310m1.73m，故选项C正确.一、运动的合成与分解1.合运动与分运动(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.2.合运动与分运动的四个特性等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性各分运动与合运动是同一物体的运动独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响3.运动的合成与分解(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)定则.(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.4.合运动性质的判断分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断.(1)是否为匀变速判断：加速度或合外力(2)曲、直判断：加速度或合外力与速度方向例1雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是()风速越大，雨滴下落时间越长风速越大，雨滴着地时速度越大雨滴下落时间与风速无关雨滴着地速度与风速无关A.B.C.D.答案B解析将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故错误，正确.风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故正确，错误，故选B.【考点】合运动与分运动的特点【题点】运动的等时性和独立性1.两分运动独立进行，互不影响.2.合运动与分运动具有等时性.例2(多选)质量为2kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图3所示，下列说法正确的是()图3A.质点的初速度为5m/sB.质点所受的合外力为3N，做匀变速曲线运动C.2s末质点速度大小为6m/sD.2s内质点的位移大小约为12m答案ABD解析由题图x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，x方向受力Fx3 N，由题图y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度大小为vy4 m/s，y方向受力Fy0.因此质点的初速度为5 m/s，A正确；受到的合外力恒为3N，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B正确；2s末质点速度大小应该为vm/s2m/s，C错误；2s内，xvx0tat29m，y8m，合位移lm12m，D正确.【考点】速度和位移的合成与分解【题点】速度和位移的合成与分解在解决运动的合成问题时，先确定各分运动的性质，再求解各分运动的相关物理量，最后进行各量的合成运算.二、小船渡河问题1.小船的运动分析小船渡河时，参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动.2.小船渡河的两类常见问题(1)渡河时间t渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t.若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图4所示，此时t，船渡河的位移x，位移方向满足tan.图4(2)渡河位移最短问题若v水v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角满足cos，最短位移x短，渡河时间t.例3已知某船在静水中的速度为v14 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d100 m，水流速度为v23 m/s，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移有多大？(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v25m/s，船在静水中的速度为v14 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？答案(1)25s125m(2)s(3)不能解析(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为ts25s.如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为l，由题意可得xv2t325m75m，代入得l125m.(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v14m/s，大于水流速度v23 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为，则有v1cosv2，cos，则sin，所用的时间为tss.(3)当水流速度v25m/s大于船在静水中的速度v14 m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.【考点】小船渡河模型分析【题点】小船渡河问题的综合分析1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船v水时.2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划行产生的分速度，后者是合速度.针对训练1(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是()答案AB解析小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.【考点】小船渡河模型分析【题点】船头指向、速度方向与渡河轨迹问题三、关联速度分解问题关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.(3)常见的速度分解模型(如图6)图6例4如图7所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为时，则：(与B相连的绳水平且定滑轮的质量及摩擦不计)图7(1)车B运动的速度vB为多大？(2)车B是否做匀速运动？答案(1)vAcos(2)不做匀速运动解析(1)把vA分解为一个沿绳方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即vBv1vAcos.(2)当船匀速向前运动时，角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解针对训练2如图8所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平方向上运动.当细绳与水平面夹角为时，求物体B运动的速度vB的大小.图8答案vsin解析物块A沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点(即物块A)的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示.其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB.则有vBvsin.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解1.(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是()A.物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动B.若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动C.合运动与分运动具有等时性D.速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则答案BCD【考点】合运动性质的判断【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹2.(两分运动的合成)(多选)一质量为2kg的质点在如图9甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度时间(vt)图象和y方向的位移时间(yt)图象分别如图乙、丙所示，由此可知()图9A.t0时，质点的速度大小为12m/sB.质点做加速度恒定的曲线运动C.前2s，质点所受的合力大小为10ND.t1s时，质点的速度大小为7m/s答案BC解析由vt图象可知，质点在x方向上做匀减速运动，初速度大小为12m/s，而在y方向上，质点做速度大小为5 m/s的匀速运动，故在前2s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：v0m/s13 m/s，故A错误，B正确；由vt图象可知，前2s，质点的加速度大小为：a5m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s质点所受合外力大小为Fma25 N10 N，故C正确；t1 s时，x方向的速度大小为7 m/s，而y方向速度大小为5 m/s，因此质点的速度大小为m/sm/s，故D错误.【考点】速度和位移的合成与分解【题点】速度的合成与分解3.(合运动轨迹的判断)如图10所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮).将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲).现将玻璃管倒置(图乙)，在木塞匀速上升的同时，将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动.观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是()图10答案C解析木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右做匀加速直线运动，速度v2不断变大，将v1与v2合成，如图，由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向，又由于v1不变，v2不断变大，故不断变小，即切线方向与水平方向的夹角不断变小，故A、B、D均错误，C正确.【考点】合运动性质的判断【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹4.(关联速度问题)(多选)如图11所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成45角，则此时()图11A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动答案BC解析将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系vcos45v0，则vv0，B正确，A错误.随着小车向左运动，小车与水平方向的夹角越来越大，设夹角为，由v知v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解5.(小船渡河问题)小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求：(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50s(2)船头偏向上游，与河岸成60角，最短航程为200m解析(1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin s50 s.(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200m，应使v合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成角，有cos，解得60.【考点】小船渡河模型分析【题点】小船渡河问题的综合分析一、选择题考点一运动的合成与分解1.关于合运动、分运动的说法，正确的是()A.合运动的位移为分运动位移的矢量和B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大D.合运动的时间一定比分运动的时间长答案A解析位移是矢量，其运算遵循平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误.【考点】合运动与分运动的特点【题点】合运动与分运动的关系2.如图1所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为Hm、沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升飞机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起.设经ts时间后，A、B之间的距离为lm，且lHt2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图()图1答案A解析根据lHt2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A.【考点】合运动性质的判断【题点】结合表达式判断合运动轨迹和合运动性质3.(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图2所示.关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是()图2A.相对地面的运动轨迹为直线B.相对地面做匀变速曲线运动C.t时刻猴子相对地面的速度大小为v0atD.t时间内猴子相对地面的位移大小为答案BD解析猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子相对地面的运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；t时刻猴子对地的速度大小为v；t时间内猴子对地的位移大小为l.【考点】速度和位移的合成与分解【题点】速度和位移的合成与分解4.物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是()图3A.物体在03s做匀变速直线运动B.物体在03s做匀变速曲线运动C.物体在34s做变加速直线运动D.物体在34s做匀变速曲线运动答案B解析物体在03s内，x方向做vx4m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0、加速度ay1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0vx4 m/s，合加速度aay1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A错误，B正确.物体在34s内，x方向做初速度vx4 m/s、加速度ax4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy3 m/s、加速度ay3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v5m/s，合加速度大小a5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，C、D错误.【考点】合运动性质的判断【题点】由两分运动性质判断合运动性质考点二小船渡河问题5.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是()A.水速小时，位移小，时间也小B.水速大时，位移大，时间也大C.水速大时，位移大，但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关答案C解析小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.【考点】小船渡河模型分析【题点】小船渡河的最短时间问题6.一只小船渡河，运动轨迹如图4所示.水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变.由此可以确定()图4A.船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动B.船沿三条不同路径渡河的时间相同C.船沿AB轨迹渡河所用的时间最短D.船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大答案D解析因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直河岸方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸前瞬间的速度最大，D正确.【考点】小船渡河模型分析【题点】小船渡河问题的综合分析7.(多选)一快艇从离岸边100m远的河流中央向岸边行驶.已知快艇在静水中的速度时间图象如图5甲所示；河中各处水流速度相同，且速度时间图象如图乙所示.则()图5A.快艇的运动轨迹一定为直线B.快艇的运动轨迹一定为曲线C.快艇最快到达岸边，所用的时间为20sD.快艇最快到达岸边，经过的位移为100m答案BC解析两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确.当快艇船头垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a0.5m/s2，由dat2，得t20s，而位移大于100m，选项C正确，D错误.【考点】小船渡河模型分析【题点】小船渡河的最短时间问题考点三绳关联速度问题8.(多选)如图6所示，人在岸上用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉船，不计空气阻力，与人相连的绳水平，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时()图6A.人拉绳行走的速度为vcosB.人拉绳行走的速度为C.船的加速度为D.船的加速度为答案AC解析船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人vvcos，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成角，因此FcosFfma，解得a，选项C正确，D错误.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图7所示位置时，绳与竖直杆的夹角为，则物体A实际运动的速度是()图7A.v0sinB.C.v0cosD.答案D解析由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v，所以D正确.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解10.如图8所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA10m/s匀速运动，在绳与轨道成30角时，物体B的速度大小vB为()图8A.5m/sB.m/sC.20m/sD.m/s答案D解析物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vBvBcos，由于绳不可伸长，有vBvA，故vAvBcos，所以vBm/s，选项D正确.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解二、非选择题11.(运动的合成与分解)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x方向和y方向上的两个分运动的速度时间图象如图9所示.图9(1)计算物体的初速度大小；(2)计算物体在前3s内的位移大小.答案(1)50m/s(2)30m解析(1)由题图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，沿y方向的分运动为匀变速直线运动.x方向的初速度vx030 m/s，y方向的初速度vy040 m/s；则物体的初速度大小为v050m/s.(2)在前3s内，x方向的分位移大小x3vxt303m90my方向的分位移大小y3t3m60m，故xm30m.【考点】运动的合成和分解与运动图象的综合应用【题点】运动的合成与分解与运动图象的综合应用12.(关联速度问题)一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为，如图10所示.试求：图10(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物m在t时刻速度的大小.答案(1)(2)解析(1)车在时间t内向左运动的位移：x，由车做匀加速直线运动，得：xat2，解得：a.(2)t时刻车的速度：v车at，由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：v物v车cos，解得：v物.【考点】关联速度的分解模型【题点】绳关联物体速度的分解
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