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第2课时参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题知识点参数方程和普通方程的互化思考1要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？答案用普通方程比较方便思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案关键是消参数梳理(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；三角函数法：利用三角恒等式消去参数；整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.类型一参数方程化为普通方程例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状(1)(t为参数)；(2)(为参数)；(3)(t1，t为参数)解(1)由x11，得x1，代入y12，得y2x3(x1)，这是以(1,1)为端点的一条射线(2)由得22，得1，这是椭圆(3)方法一xy1，又x1，故x1，y2，故y2，所以所求的方程为xy1(x1，y2)方程表示直线(去掉一点(1,2)方法二由x，所以xxt1t，所以(x1)t1x，即t，代入y中得，y1x，所以xy1(x1，y2)方程表示直线(去掉一点(1,2)反思与感悟消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2cos21消去参数.跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(为参数)解(1)xt，x2t22，把yt2代入得x2y2.又当t0时，xt2，当且仅当t1时等号成立；当t0时，xt2，当且仅当t1时等号成立x2或x2，普通方程为x2y2(x2或x2)(2)可化为两式平方相加得(x2)2y29，即普通方程为(x2)2y29.类型二普通方程化为参数方程例2已知圆C的方程为x2y22x0，根据下列条件，求圆C的参数方程(1)以过原点的直线的倾斜角为参数；(2)设x2m，m为参数解(1)过原点且倾斜角为的直线方程为yxtan，由方程组消去y，得x2x2tan22x0，解得x0或x2cos2.当x0时，y0，当x2cos2时，yxtan2cossinsin2.又适合参数方程所求圆C的参数方程为(为参数，00，则点P的轨迹是()A直线x2y3B以(3,0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(1,1)，(3,0)为端点的线段答案D2将参数方程(为参数)化成普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)答案C解析由x2sin2，得sin2x2，代入ysin2，yx2.又sin2x20,1，x2,33参数方程(为参数)表示的曲线的普通方程是_答案y2x1(1x1)4将参数方程(t为参数)化成普通方程为_答案x2y2(y2)解析由xt，得x2t22，又yt2，x2y2.t22，y2.5参数方程(为参数)表示的图形是_答案圆解析x2y2(3cos4sin)2(4cos3sin)225，表示圆1参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数2同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率3参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性一、选择题1曲线(为参数)的方程等价于()AxByCyDx2y21答案A2已知直线l：(t为参数)与圆C：(为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为()A.，(1,0) B.，(1,0)C.，(1,0) D.，(1,0)答案C3参数方程(为参数)化为普通方程是()A2xy40B2xy40C2xy40，x2,3D2xy40，x2,3答案D解析由条件可得cos2y112sin212(x2)，化简可得2xy40，x2,34过原点作倾斜角为的直线与圆(为参数)相切，则等于()A.B.C.或D.答案C解析直线为yxtan，圆为(x4)2y24，直线与圆相切时，易知tan，或.5下列参数方程中，与普通方程y2x表示同一曲线的是()A.(t为参数) B.(t为参数)C.(t为参数) D.(t为参数)答案D解析由参数方程消去参数t，可得y2x.又参数方程满足x0，yR，故选D.二、填空题6设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_答案(t为参数)解析把ytx代入x2y24y0，得x或x0，当x0时，y0，当x时，y，又适合参数方程参数方程为(t为参数)7若曲线的参数方程为(k为参数)，则其普通方程为_答案4x2y2y0(0y1)解析由(k为参数)两式相除，得k，代入y，得4x2y2y0.由于y(0,1，所以曲线的普通方程为4x2y2y0(00时，xa，)，t0，b0)所以方程表示焦点在x轴上的双曲线12在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数，r为常数，r0)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos20.若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|2，求r的值解由cos20，得cossin20，即直线l的方程为xy20.由得曲线C的普通方程为x2y2r2，圆心坐标为(0,0)，所以，圆心到直线的距离d，由|AB|22，得r2.13已知曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的极坐标方程为2cos6sin.(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由解(1)由(为参数)，得(x2)2y210，曲线C1的普通方程为(x2)2y210.2cos6sin，22cos6sin，x2y22x6y，即(x1)2(y3)210，曲线C2的直角坐标方程为(x1)2(y3)210.(2)圆C1的圆心为C1(2,0)，圆C2的圆心为C2(1,3)，|C1C2|32，两圆相交设公共弦的长为d，两圆半径相等，公共弦平分线段C1C2，22()2，解得d，公共弦长为.四、探究与拓展14在极坐标系中，圆C1的方程为4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a_.答案或5解析圆C1的直角坐标方程为x2y24x4y，其标准方程为(x2)2(y2)28，圆心坐标为(2,2)，半径长为2.圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2相切，则|C1C2|2|a|3或|C1C2|a|23a或a5.15在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求xy的取值范围；(3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax.解(1)因为2sin，所以22sin，所以x2y22y，即x2(y1)21，所以曲线C的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)因为xytt1，又1t1，所以t，所以t1，即xy的取值范围是.(3)曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为4x3y30，d|sin()|，tan ，所以dmax1.
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