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2017-2018学年河南省三门峡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A=x|0x4，集合B=x|3x5，则A（UB）=（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求UB，然后求A（UB）【详解】（UB）x|x3或x5，A（UB）x|0x3故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2.若直线过点（1，2），（4，2+ ）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解【详解】设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选A.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用 ；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.3.设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求【详解】由已知可得r，而|AB|，|AB|r故选：C【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题4.函数的图像的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。5.若，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，即；故B正确考点：指数函数，对数函数的单调性【方法点睛】本题主要考查用指数函数，对数函数的单调性比较大小的问题，难度一般比较大小常用的方法有：作差法，插入数法，单调性法，图像法等有时几种方法可能需同时使用6.三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（）A. B. 6 C. 或6 D. 0或4【答案】C【解析】【分析】根据相互垂直的两直线斜率之间的关系对b分类讨论即可得出【详解】l1，l2都和l3垂直，若b0，则a+20，解得a2，a+b2若b0，则1，1，联立解得a2，b4，a+b6综上可得：a+b的值为2或6故选：C【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为有直观图可知，该几何体的正视图是有一条从左上角到右下角的对角线的正方形，俯视图是有一条从左下角角到右上角角的对角线的正方形，侧视图是有一条从左上角到右下角的对角线的正方形（对角线为虚线），所以只有选项D合题意，故选D.8.已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】试题分析：A不正确，也有可能；B不正确，也有可能；C不正确，可能或或；D正确，考点：1线面位置关系；2线面垂直9.已知函数是定义域为上的偶函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为偶函数在上是减函数，所以在上是增函数，由题意知:不等式等价于,即,即或,解得或10.已知圆C：x2+y2+2x=0与过点A（1，0）的直线l有公共点，则直线l斜率k的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系直接求解【详解】根据题意得，圆心（1，0），r1，设直线方程为y0k（x1），即kxyk0圆心到直线的距离d1，解得k故选：B【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题11.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，时，则在上单调递增，所以得：，解得，故选C。点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到，通过单调性分析，得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求，则，解得答案。12.已知函数，对于任意且.均存在唯一实数，使得，且.若关于的方程有4个不相等的实数根，则 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，作出函数图像，由图知 ，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=1g（2x-1）的定义城为_【答案】【解析】【分析】根据对数函数定义得2x10，求出解集即可.【详解】f（x）lg（2x1），根据对数函数定义得2x10，解得：x0，故答案为：（0，+）.【点睛】考查具体函数的定义域的求解，考查了指数不等式的解法，属于基础题14.在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_.【答案】【解析】3xy=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a0，b0，则a+b=2，即b=2a0，得0a2，由勾股定理可知=，0a2，当a=1时，的距离，故答案为：15.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）2x的所有零点构成的集合为_【答案】 【解析】【分析】根据的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合【详解】当x0时，函数f（x）=sgn（x）2x =12x，令12x=0，得x=，即当x0时，函数f（x）的零点是；当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；当x0时，函数f（x）=12x，令12x=0，得x=，即当x0时，函数f（x）的零点是综上可得函数f（x）=sgn（x）x的零点的集合为：故答案为：【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题16.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：PC平面OMN；平面PCD平面OMN；OMPA；直线PD与直线MN所成角的大小为90其中正确结论的序号是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】连接AC，易得PCOM，可判结论证得平面PCD平面OMN，可判结论正确由勾股数可得PCPA，得到OMPA，可判结论正确根据线线平行先找到直线PD与直线MN所成的角为PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，可判错误【详解】如图，连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论正确同理PDON，所以平面PCD平面OMN，结论正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2PA2+PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，结论正确由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB，又四边形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，故错误故答案为：【点睛】本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.(1)求直线l的方程.(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）解方程组可得直线的交点为(1,6)，然后根据垂直可得直线l的斜率，由点斜式可得l的方程；（2）有点到直线的距离公式可得，解得a=1或a=6，即为所求。试题解析：(1)由得所以直线l1与l2的交点为(1,6),又直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率为k=-2，故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)因为点P(a,1)到直线l的距离等于,所以=,解得a=1或a=6.所以实数a的值为1或6.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=60，AB=2AD，PD平面ABCD，点M为PC的中点（1）求证：PA平面BMD；（2）求证：ADPB；（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MOPA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论（2）由PD平面ABCD，可得PDAD，再由cosBAD，证得 ADBD，可证AD平面PBD，从而证得结论（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h【详解】（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MOPA再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，故有PA平面BMD（2）由PD平面ABCD，可得PDAD，平行四边形ABCD中，BCD60，AB2AD，cosBADcos60，ADBD这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD平面PBD，ADPB（3）若ABPD2，则AD1，BDABsinBAD2，由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离取CD得中点N，则MN平面ABCD，且MNPD1设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求由ADPB 可得BCPB，故三角形PBC为直角三角形由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MDMB，故三角形MBD为等腰三角形，故MOBD由于PA，MO 由VMBCDVCMBD 可得，（）MN（BDMO ）h，故有 （）1（）h，解得h【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题19.已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.（）求的值，并求出在上的解析式；（）求在上的最值【答案】（）在上的解析式为f（x）2x4x；（）函数在0,1上的最大与最小值分别为0，-2.【解析】试题分析：（）由于f（x）为定义在1,1上的奇函数，故f（0）0，即f（0）10.从而1.设x0,1，则x1,0由f（x）f（x）即可得在上的解析式.（）当x0,1，f（x）2x4x2x（2x）2，设t2x（t0），则f（t）tt2.这样转化为求二次函数在给定区间上的最大值，最大值.试题解析：解：（）f（x）为定义在1,1上的奇函数，且f（x）在x0处有意义，f（0）0，即f（0）10.1.设x0,1，则x1,0f（x）4x2x.又f（x）f（x）f（x）4x2x.f（x）2x4x.所以，在上的解析式为f（x）2x4x（）当x0,1，f（x）2x4x2x（2x）2，设t2x（t0），则f（t）tt2.x0,1，t1,2当t1时，取最大值，最大值为110.当t=0时，取最小值为-2.所以，函数在0,1上的最大与最小值分别为0，-2.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式；3、函数的最值.20.如图，几何体EF-ABCD中，四边形CDEF是正方形，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，ACB是腰长为2的等腰直角三角形，平面CDEF平面ABCD（1）求证：BCAF；（2）求几何体EF-ABCD的体积【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出FCCD，FCBC，ACBC，由此BC平面ACF，从而BCAF（2）推导出ACBC2，AB4，从而ADBCsinABC22，由V几何体EFABCDV几何体ACDEF+V几何体FACB，能求出几何体EFABCD的体积【详解】（1）因为平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCD=CD，又四边形CDEF是正方形，所以FCCD，FC平面CDEF，所以FC平面ABCD，所以FCBC因为ACB是腰长为2的等腰直角三角形，所以ACBC又ACCF=C，所以BC平面ACF所以BCAF （2）因为ABC是腰长为2的等腰直角三角形，所以AC=BC=2，AB=4，所以AD=BCsinABC=2=2，CD=AB=BCcosABC=4-2cos45=2，DE=EF=CF=2，由勾股定理得AE=2，因为DE平面ABCD，所以DEAD又ADDC，DEDC=D，所以AD平面CDEF所以V几何体EF-ABCD=V几何体A-CDEF+V几何体F-ACB=+=【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21.已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）若APB=60，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标【答案】（1）或（2）x+y-3=0或x+7y-9=0（3）详见解析【解析】试题分析：（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标;（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得;（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标试题解析：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m-2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在， 由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=-1或，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为：化简得：x2+y2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2-2y=0且（2x+y-2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或考点：圆方程的综合运用22.已知函数f（x）=（1）若f（2）=a，求a的值；（2）当a=2时，若对任意互不相等的实数x1，x2（m，m+4），都有0成立，求实数m的取值范围；（3）判断函数g（x）=f（x）-x-2a（a0）在R上的零点的个数，并说明理由【答案】（1）；（2）；（3）个零点，理由见解析.【解析】【分析】（1）分类讨论求出f（2），代入 f（2）a，解方程可得；（2）a2时，求出分段函数的增区间；“对任意互不相等的实数x1，x2（m，m+4），都有0成立”f（x）在（m，m+4）上是增函数，根据子集关系列式可得m的范围；（3）按照xa和xa这2种情况分别讨论零点个数【详解】解：（1）因为f（2）=a，当a2时，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；当a2时，-4+2（a+1）-a=a，此式无解；综上可得：a=1（2）当a=2时，f（x）=，f（x）的单调增区间为（-，）和（2，+），又由已知可得f（x）在（m，m+4）上单调递增，所以m+4，或m2，解得m-或m2，实数m的取值范围是（-，-2，+）；（3）由题意得g（x）=当xa时，对称轴为x=，因为-，所以f（a）=a2-a2-2a-a=-3a0，-a=a，f（）=-=-0，由二次函数可知，g（x）在区间（a，）和区间（，+）各有一个零点；当xa时，对称轴为x=a，函数g（x）在区间（-，a）上单调递增且f（）=0，所以函数在区间（-，a）内有一个零点综上函数g（x）=f（x）-x-2a（-a0）在R上有3个零点【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用及函数零点问题，考查了分类讨论思想的运用，属于难题
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