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1.3.3 函数的奇偶性（第二课时）一选择题1下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为( )A y B yC yx2 D yx【答案】A【解析】易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数yx2在(0，)上单调递增，所以选A.2对于定义域为R的任意奇函数f(x)都恒成立的是( )A f(x)f(x)0 B f(x)f(x)0C f(x)f(x)0 D f(x)f(x)0【答案】C【解析】由f(x)f(x)知f(x)与f(x)互为相反数，只有C成立.3函数yf(x)在区间0,2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A f(1)ff B ff(1)fC fff(1) D ff(1)f【答案】B 【点睛】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件，判断出函数在上单调递减，且在上函数）满足，是解答本题的关键4定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)，若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)( )A 在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B 在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C 在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D 在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数【答案】B【解析】由f(x)f(2x)，得f(x)关于x=1对称，则由1，2上是减函数得0，1上是增函数，再由偶函数性质得-1，0上是减函数，根据f(x)关于x=1对称，得2，3上是增函数，依次类推得在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数，选B.5若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)x23x1，则f(x)( )A x2 B 2x2C 2x22 D x21【答案】D 6已知函数yf(x)是R上的偶函数，且f(x)在0，)上是减函数，若f(a)f(2)，则a的取值范围是( )A a2 B a2C a2或a2 D 2a2【答案】D【解析】由已知，函数yf(x)在(，0)上是增函数，若a0，由f(a)f(2)得a2；若a0，由已知可得f(a)f(2)f(2)，a2.综上知2a2.答案：D.点睛：1、函数f(x)为偶函数，求解析式中字母的值有两种方法：f(x)=f(x)；特殊的实数x0,f(x0)=f(x0)；2、对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)2 填空题7已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x4)f(x)，又f(1)4，那么ff(7)_.【答案】0【解析】f(7)f(34)f(3)f(14)f(1)f(1)4，ff(7)f(4)f(44)f(0)0. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解8若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，则满足f()f(a)的实数a的取值范围是_.【答案】(，) 9设奇函数f(x)在(0，)上为增函数且f(1)0，则不等式的解集为_.【答案】x|1x0或0x1【解析】由得，所以当x时; 当x时;因为f(x)在(0，)上为增函数，所以; 当x时,因此解集为x|1x0或0xb0，给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b)； f(b)f(a)g(b)g(a)； f(a)f(b)b0，f(a)f(b)，g(a)g(b).f(b)f(a)f(b)f(a)g(b)g(a)g(a)g(b)g(a)g(b)，成立.又g(b)g(a)g(b)g(a)，成立.3 解答题11（2013江苏11）已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=x2-4x；（1）求f(0);（2）求f(x)的解析式；（3）求不等式f(x)x的解集.【答案】(1)f(0)=0;(2)f(x)= (3)(-5,0)(5,+)【解析】试题分析：（1）由奇函数定义得，再令x=0，可得f(0)（2）时由奇函数定义，将所求区间转化到已知区间，即得解析式（3）分段列不等式组，最后求两个不等式组的并集试题解析：(1) f(x)是定义在R上的奇函数f(0)=0;(2),f(x)= (3) f(x)x , 12已知函数yf(x)(x0)对于任意的x，yR且x，y0都满足f(xy)f(x)f(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数yf(x)(x0)的奇偶性【答案】（1）f(1)0，f(1)0；（2）偶函数.【解析】试题分析：（1）令xy1即可得f(1)，令xy1即可得f(1)0；（2）令y1，得f(xy)f(x)f(x)f(1)，由（1）可得偶函数. (2)由题意可知，函数yf(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，令y1，得f(xy)f(x)f(x)f (1)，因为f(1)0，所以f(x)f(x)，所以yf(x)(x0)为偶函数
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