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(一)直线与圆锥曲线(1)1(2018唐山模拟)已知点A(2,0)，点B(1,0)，点C(1,0)，动圆O与x轴相切于点A，过点B的直线l1与圆O相切于点D，过点C的直线l2与圆O相切于点E(D，E均不同于点A)，且l1与l2交于点P，设点P的轨迹为曲线.(1)证明：|PB|PC|为定值，并求的方程；(2)设直线l1与的另一个交点为Q，直线CD与交于M，N两点，当O，D，C三点共线时，求四边形MPNQ的面积解(1)由已知可得|PD|PE|，|BA|BD|，|CE|CA|，所以|PB|PC|PD|DB|PC|PE|PC|AB|CE|AB|AC|AB|42|BC|，所以点P的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点)，可求得的方程为1(y0)(2)由O，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PBCD，又由直线CE，CA为圆O的切线，可知|CE|CA|，|OA|OE|，所以OACOEC，进而有ACOECO，所以|PC|BC|2，又由椭圆的定义，|PB|PC|4，得|PB|2，所以PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，)()当点P的坐标为(0，)时，PBC60，BCD30，此时直线l1的方程为y(x1)，直线CD的方程为y(x1)，由整理得5x28x0，得Q，所以|PQ|，由整理得13x28x320，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2，x1x2，|MN| |x1x2|，所以四边形MPNQ的面积S|PQ|MN|.()当点P的坐标为(0，)时，由椭圆的对称性，得四边形MPNQ的面积为.综上，四边形MPNQ的面积为.2(2018合肥模拟)已知椭圆1(ab1)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，F2：(xc)2y21与该椭圆有且只有一个公共点(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(4c,0)的直线与F2相切，且与椭圆相交于A，B两点，求证：F2AF2B；(3)过点P(4c,0)的直线l与F1：(x1)2y2r2(r1)相切，且与椭圆相交于A，B两点，试探究kF2A，kF2B的数量关系(1)解F2与椭圆有且只有一个公共点，公共点为(a,0)或(a,0)，若公共点为(a,0)，则ac1，又，解得a1矛盾，故公共点为(a,0)ac1，又e，a2，c1.反之，当c1时，联立解得满足条件椭圆的标准方程为1.(2)证明P(4,0)，设过P(4,0)的直线l的方程为xmy4，联立得(43m2)y224my360，由576m2144(43m2)0，得m24.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又F2(1,0)，(x11，y1)(x21，y2)(1m2)y1y23m(y1y2)99.由l：xmy4与F2：(x1)2y21相切得m28，满足m24，0，即F2AF2B.(3)解猜想：0.证明如下：由(2)得.2my1y23(y1y2)2m0，0.3(2018成都模拟)设F1，F2分别是椭圆E：1的左、右焦点若P是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线xky1与椭圆E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A(A与B不重合)，则直线AB与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由解(1)由题意得a2，c，b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，故y1y2，y1y2.经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为，令y0，则xy1x1，又x1ky11，x2ky21，x4，即当x4时，y0.直线AB与x轴交于定点(4,0)4(2018济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)，斜率为k(k0)的直线l经过C的焦点，且与C交于A，B两点，满足.(1)求抛物线C的方程；(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R到直线AB的距离为d，若，求k的值解(1)由已知，得直线l的方程为ykx，设A，B，由得x22pkxp20，(*)x1x2p2，y1y2，x1x2y1y2 p2，由已知得，即p1，抛物线C的方程为x22y.(2)由(1)知，p1，C：x22y，l：ykx，方程(*)即：x22kx10，x1x22k，x1x21.设AB的中点为D(x0，y0)，则x0(x1x2)k，y0kx0k2，AB的垂直平分线MN的方程为y(xk)，即xyk20.将直线MN的方程与C：x22y联立，得x2x2k230，(*)设M，N，则R， k2 k2，R点到直线AB：kxy0的距离d，|AB| 2，所以，由已知得，即得k1.把k1代入验证知(*)与(*)式的判别式都大于零5(2018甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点(1)求直线ON的斜率kON；(2)求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在0,2)，使得cos sin 成立(1)解设椭圆的焦距为2c，因为，所以，故有a23b2.从而椭圆C的方程可化为x23y23b2，右焦点F的坐标为(b,0)，据题意有AB所在的直线方程为yxb.由得，4x26bx3b20，72b2443b224b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为N(x0，y0)，由根与系数的关系得，x0，y0x0b.所以kON.(2)证明显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又因为点M在椭圆C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，整理可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.由(1)可知，x1x2，x1x2，所以x1x23y1y2x1x23(x1b)(x2b)4x1x23b(x1x2)6b23b29b26b20.又点A，B在椭圆C上，故有(x3y)3b2，(x3y)3b2.将代入可得，221.所以对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，且221.所以存在0,2)，使得cos ，sin .即对于椭圆C上任意一点M，总存在0,2)，使得等式cos sin 成立
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