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高难拉分攻坚特训(七)1设F为抛物线C:y22px(p0)的焦点,曲线y(k0)与C交于点A,直线FA恰与曲线y(k0)相切于点A,FA交C的准线于点B,则等于()A. B. C. D.答案B解析由解得由y,得y,所以kFA,化简得k,所以xA,故选B.2已知三棱锥ABCD中,ABACBC2,BDCD,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为_答案解析解法一:BCD为等腰直角三角形,其外接圆圆心为BC中点E,外接球的球心在过E点且垂直于平面BCD的直线与AD垂直平分线的交点处以E为原点,DE所在直线为x轴,过点E且垂直于平面BCD的直线为y轴建立平面直角坐标系,则E(0,0),D(1,0),A,设AD中点为F,则F,kAD,直线AD的中垂线方程为y,即yx,R .S4R2.解法二:BCD为等腰直角三角形,E是其外接圆的圆心,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,则BF ,AF .设球心O到平面BCD的距离为h,则1h22,h,R ,S球4R2.3已知圆O:x2y24,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点,问在y轴上是否存在定点Q,使得MQONQO,若存在,请求出定点Q,若不存在,请说明理由解(1)设PF的中点为S,切点为T,连接OS,ST,则|OS|SF|OT|2,取F关于y轴的对称点F,连接FP,所以|PF|2|OS|,故|FP|FP|2(|OS|SF|)4,所以点P的轨迹是以F,F分别为左、右焦点,且长轴长为4的椭圆,则曲线C方程为1.(2)假设存在满足题意的定点Q,设Q(0,m),当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为ykx,M(x1,y1),N(x2,y2)联立,得消去y,得(34k2)x24kx110,则0,x1x2,x1x2,由MQONQO,得直线MQ与NQ的斜率之和为零,易知x1或x2等于0时,不满足题意,故0,即2kx1x2(x1x2)2k0,当k0时,m6,所以存在定点(0,6),使得MQONQO;当k0时,定点(0,6)也符合题意易知当直线MN的斜率不存在时,定点(0,6)也符合题意综上,存在定点(0,6),使得MQONQO.4已知函数f(x).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)2恒成立,求实数a的取值范围解(1)由题意知,f(x),当a0得ax2,由f(x)0得x2,所以f(x)在(,a),(2,)上单调递减,在(a,2)上单调递增;当a2时,f(x)在R上单调递减;当a2时,由f(x)0,得2xa,由f(x)0,得xa,所以f(x)在(2,a)上单调递增,在(,2),(a,)上单调递减(2)由f(x)2在0,)上恒成立,得x2axa2ex在0,)上恒成立,令(x)x2axa2ex(x0,),则(x)2xa2ex,令p(x) 2xa2ex(x0,),则p(x)22ex0,所以p(x)在0,)上为减函数,p(x)p(0)a2.当a2时,p(x)0,即(x)0,(x)在0,)上为减函数,则(x)(0),所以(0)0,即a20,得2a2.当a2时,g(x)32ex0,所以g(x)g(2)62e20,所以p(a)3a2eag(a)0,所以p(x)2xa2ex在0,)上有唯一零点,设为m,在(0,m)上,p(x)0,即(x)0,(x)单调递增,在(m,)上,p(x)0,即(x)0),则h(x)2ex10,所以h(x)h(0)20,所以2emm0,所以由(m)(m2)(2emm)0得0m2,记t(x)2x2ex,则t(x)22ex,当0x2时,易知t(x)0,所以t(x)在(0,2上是减函数,故42e2a2.综上,实数a的取值范围为42e2,2
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