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4.2三角函数的图象及性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的图象及其变换1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象2.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出函数y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响2016课标全国,6;2016课标全国,14;2016四川,4;2015山东,4选择题、填空题2.三角函数的性质及其应用1.了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等).理解正切函数的单调性2017课标全国,3;2017课标全国,13;2017天津,7;2017北京,16;2016课标全国,3选择题、填空题、解答题分析解读通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查恒等变换及数形结合能力.一般分值为5分或12分.五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2016课标全国,6,5分)将函数y=2sin2x+6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2x+4B.y=2sin2x+3C.y=2sin2x-4D.y=2sin2x-3答案D2.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sinx+3的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向上平行移动3个单位长度D.向下平行移动3个单位长度答案A3.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin4x-3的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移12个单位B.向右平移12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位答案B4.(2014安徽,7,5分)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是()A.8B.4C.38D.34答案C5.(2014福建,7,5分)将函数y=sin x的图象向左平移2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为C.y=f(x)的图象关于直线x=2对称D.y=f(x)的图象关于点-2,0对称答案D6.(2013福建,9,5分)将函数f(x)=sin(2x+)-20)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P0,32,则的值可以是()A.53B.56C.2D.6答案B7.(2016课标全国,14,5分)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到_.答案38.(2015湖北,18,12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)0,|0,-20,|0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()A.0,18B.0,1458,1C.0,58D.0,1814,58答案D4.(2017课标全国,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.答案55.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,最小值是.答案;3-226.(2015天津,14,5分)已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则的值为.答案27.(2017北京,16,13分)已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时, f(x)-12.解析(1)f(x)=32cos 2x+32sin 2x-sin 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)证明:因为-4x4,所以-62x+356.所以sin2x+3sin-6=-12.所以当x-4,4时, f(x)-12.8.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f 23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析(1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-2332-12,得f23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ.所以, f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ).9.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4,(3分)所以f(x)的最小正周期T=22=.(4分)依题意,=,解得=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin2x+4.函数y=sin x的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ).(8分)由2k-22x+42k+2(kZ),得k-38xk+8(kZ).(12分)所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8(kZ).(13分)教师用书专用(1026)10.(2015四川,5,5分)下列函数中,最小正周期为的奇函数是()A.y=sin2x+2B.y=cos2x+2C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案B11.(2014天津,8,5分)已知函数f(x)=3sin x+cos x(0),xR.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为3,则f(x)的最小正周期为()A.2B.23C.D.2答案C12.(2013天津,6,5分)函数f(x)=sin2x-4在区间0,2上的最小值为()A.-1B.-22C.22D.0答案B13.(2013四川,6,5分)函数f(x)=2sin(x+)0,-20,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则=.答案215.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.答案816.(2014大纲全国,14,5分)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为.答案3217.(2014山东,12,5分)函数y=32sin 2x+cos2x的最小正周期为.答案18.(2013江西,13,5分)设f(x)=3sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有|f(x)|a,则实数a的取值范围是.答案2,+)19.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时, f(x)取到最小值-23.20.(2015安徽,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2x+4+1,所以函数f(x)的最小正周期T=22=.(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+4+1.当x0,2时,2x+44,54,由正弦函数y=sin x在4,54上的图象知,当2x+4=2,即x=8时, f(x)取得最大值,最大值为2+1;当2x+4=54,即x=2时, f(x)取得最小值,最小值为0.综上,f(x)在0,2上的最大值为2+1,最小值为0.21.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,23上的最小值.解析(1)因为f(x)=sin x+3cos x-3=2sinx+3-3,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x23,所以3x+3.当x+3=,即x=23时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间0,23上的最小值为f23=-3.22.(2014四川,17,12分)已知函数f(x)=sin3x+4.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f3=45cos+4cos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为-2+2k,2+2k,kZ,由-2+2k3x+42+2k,kZ,得-4+2k3x12+2k3,kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为-4+2k3,12+2k3,kZ.(2)由已知,有sin+4=45cos+4(cos2-sin2),所以sin cos4+cos sin4=45(cos cos4-sin sin4)(cos2-sin2),即sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=34+2k,kZ.此时cos -sin =-2.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=54.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-52.综上所述,cos -sin =-2或-52.23.(2014福建,18,12分)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x).(1)求f54的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)f54=2cos54sin54+cos54=-2cos4-sin4-cos4=2.(2)因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+4+1,所以T=22=.由2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+4+1.(1)f54=2sin114+1=2sin4+1=2.(2)T=22=.由2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.24.(2013湖南,16,12分)已知函数f(x)=cos xcosx-3.(1)求f23的值;(2)求使f(x)14成立的x的取值集合.解析(1)f23=cos23cos3=-cos3cos3=-122=-14.(2)f(x)=cos xcosx-3=cos x12cosx+32sinx=12cos2x+32sin xcos x=14(1+cos 2x)+34sin 2x=12cos2x-3+14.f(x)14等价于12cos2x-3+1414,即cos2x-30.于是2k+22x-32k+32,kZ.解得k+512xk+1112,kZ.故使f(x)0,0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(2 017)+f(2 018)的值为()A.2+2B.2C.2+22D.0答案A3.(2018北京海淀期中,7)已知函数f(x)=1sin(x+)0,|0,0,|2,xR在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x的图象(纵坐标不变)如何变换得到()A.先把各点的横坐标缩短到原来的12,再向左平移6个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12,再向右平移12个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移6个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移12个单位答案B6.(2018江西师大附中10月模拟,17)已知函数f(x)=3sin xcos x-cos2x-12.(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程;(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后再向左平移3个单位,得到函数g(x)的图象,若a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,c=4,且g(B)=0,求b的值.解析(1)f(x)=3sin xcos x-cos2x-12=32sin 2x-12(1+cos 2x)-12=sin2x-6-1,令2x-6=k+2,kZ,解得x=k2+3,kZ,所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3,kZ.(2)函数f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数y=sinx-6-1的图象,再向左平移3个单位,得到函数y=sinx+3-6-1的图象,所以函数g(x)=sinx+6-1.又ABC中,g(B)=0,所以sinB+6-1=0,因为0B,所以6B+60)的最小正周期为.(1)求的值,并在下面提供的坐标系中画出函数y=f(x)在区间0,上的图象;(2)函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?解析(1)由题意知f(x)=sinx+3,因为T=,所以2=,即=2,故f(x)=sin2x+3.列表如下:2x+33232273x012371256f(x)3210-1032y=f(x)在0,上的图象如图所示.(2)将y=sin x的图象上的所有点向左平移3个单位长度,得到函数y=sinx+3的图象,再将y=sinx+3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数f(x)=sin2x+3(xR)的图象.考点二三角函数的性质及其应用8.(2018江西师大附中10月模拟,6)在四个函数y=sin |2x|,y=|sin x|,y=sin2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期为的所有函数个数为()A.1B.2C.3D.4答案B9.(2018湖北重点高中期中联考,7)已知函数f(x)=ax-3(a0且a1)的图象过定点P,且点P在角的终边上,则函数y=sin(x+)的单调递增区间为()A.2k-23,2k+3(kZ)B.2k+23,2k+43(kZ)C.2k-56,2k+6(kZ)D.2k+6,2k+76(kZ)答案A10.(2018河北衡水中学9月大联考,10)将函数f(x)=2sin4x-3的图象向左平移6个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是()A.最小正周期为B.图象关于直线x=12对称C.图象关于点12,0对称D.初相为3答案C11.(2016广东3月适应性考试,5)三角函数f(x)=sin6-2x+cos 2x的振幅和最小正周期分别是()A.3,2B.3,C.2,2D.2,答案B12.(2017湖南一模,13)函数f(x)=3cos(3x-)-sin(3x-)是奇函数,则tan 等于.答案-313.(2018山西太原五中12月模拟,17)已知向量a=(cos x,0),b=(0,3sin x),记函数f(x)=(a+b)2+3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(x)=(a+b)2+3sin 2x=1+2sin2x+3sin 2x=3sin 2x-cos 2x+2=2sin2x-6+2.当且仅当2x-6=-2+2k(kZ),即x=-6+k(kZ)时,f(x)min=0,此时x的取值集合为xx=-6+k,kZ.(2)由-2+2k2x-62+2k(kZ),得-6+kx3+k(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为-6+k,3+k(kZ).14.(2017江西新余、宜春联考,17)已知函数f(x)=3sin 2x-cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)求f(x)在区间-6,4上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6,T=22=.(2)由2k+22x-62k+32(kZ),得k+3xk+56(kZ).f(x)的单调递减区间为k+3,k+56(kZ).(3)因为-6x4,所以-22x-63,当2x-6=3,即x=4时, f(x)取得最大值3;当2x-6=-2,即x=-6时, f(x)取得最小值-2.B组20162018年模拟提升题组(满分:60分时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移6个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为()A.3B.6C.0D.4答案B2.(2018河北衡水中学四调,11)将函数f(x)=2cos 2x的图象向右平移6个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间0,a3和2a,76上均单调递增,则实数a的取值范围是()A.3,2B.6,2C.6,3D.4,38答案A3.(2018湖北荆州中学11月模拟,7)如图是函数f(x)=Asin(x+)(0,A0)在区间-6,56上的图象,为了得到这个图象,只需将g(x)=Acos x的图象()A.向右平移6个单位长度B.向右平移12个单位长度C.向右平移8个单位长度D.向左平移6个单位长度答案B4.(2018河南新乡一模,10)设kR,函数f(x)=sinkx+6+k的图象为下面两个图中的一个,则函数f(x)的图象的对称轴方程为()A.x=k2+6(kZ)B.x=k+3(kZ)C.x=k2-6(kZ)D.x=k-3(kZ)答案A5.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,10)已知函数f(x)=2sin2x+3的图象为C,则:C关于直线x=712对称;C关于点12,0对称;f(x)在-3,12上是增函数;把y=2cos 2x的图象向右平移12个单位长度可以得到图象C.以上结论中正确的有()A.B.C.D.答案D6.(2017湖北荆州中学12月模拟,10)已知函数f(x)=sin2(x)-12(0)的周期为,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值为()A.B.34C.2D.4答案D7.(2017河南天一大联考(三),9)已知函数f(x)=Msin(x+)M0,0,|0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2,则f4的值为()A.35B.45C.-35D.-45答案D二、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018河南商丘九校12月联考,17)已知函数f(x)=3sin2x-3-2sinx-4sinx+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-12,2上的值域.解析(1)f(x)=3sin2x-3-2sinx-4sinx+4=-32cos 2x+32sin 2x+(cos x-sin x)(sin x+cos x)=-32cos 2x+32sin 2x+cos2x-sin2x=-32cos 2x+32sin 2x+cos 2x=sin2x-6.T=22=.由2x-6=k+2(kZ)得x=k2+3(kZ).函数f(x)的最小正周期为,图象的对称轴方程为x=k2+3(kZ).(2)x-12,2,2x-6-3,56.易知f(x)=sin2x-6在区间-12,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,当x=3时, f(x)取最大值1,又f-12=-320,0)为奇函数,且f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为2.(1)当x-2,4时,求f(x)的单调递减区间;(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移6个单位长度,再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.当x-12,6时,求函数g(x)的值域.解析(1)由题意得f(x)=3sin(x+)-cos(x+)=2sinx+-6,因为f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为2,所以T=,所以=2.因为函数f(x)为奇函数,所以-6=k(kZ),即=k+6(kZ),又00,0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)的值分别为()A.f(x)=12sin 2x+1,2 013B.f(x)=12sin 2x+1,2 01312C.f(x)=12sin2x+1,2 014D.f(x)=12sin2x+1,2 01412答案D2.(2017广东惠州一调,17)已知函数f(x)=sin(x+)0,|2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并写出f(x)的单调递减区间;(2)已知ABC的内角分别是A,B,C,A为锐角,且fA2-12=12,cos B=45,求sin C的值.解析(1)由题图得12T=23-6=2,所以T=,所以=2T=2.当x=6时,f(x)=1,可得sin26+=1.所以=2k+6(kZ).因为|2,所以=6.故f(x)=sin2x+6.由图象可得f(x)的单调递减区间为k+6,k+23,kZ.(2)由(1)可知,sin2A2-12+6=12,即sin A=12,又A为锐角,A=6.0B0,|0)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为()A.k+34,k+74,kZB.k+4,k+54,kZC.2k+4,2k+54,kZD.2k+34,2k+74,kZ答案D8.(2018河南顶级名校11月联考,9)某房间的室温T(单位:摄氏度)与时间t(单位:小时)的函数关系是T=asin t+bcos t,t(0,+),其中a,b是正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则a+b的最大值是()A.52B.10C.102D.20答案A9.(2017安徽淮北第二次模拟,10)已知函数f(x)=asin xcos x-sin2x+12图象的一条对称轴方程为x=6,则函数f(x)的单调递增区间为()A.k-3,k+6(kZ)B.k-12,k+512(kZ)C.k-712,k-12(kZ)D.k+6,k+23(kZ)答案A10.(2017江西七校第二次联考,18)已知函数f(x)=4cos xsinx-6(0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)在(0,)上的单调递增区间;(2)求f(x)在8,38上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=4cos xsinx-6=4cos x32sinx-12cosx=23sin xcos x-2cos2x+1-1=3sin 2x-cos 2x-1=2sin2x-6-1,因为f(x)的最小正周期是22=(0),所以=1,从而f(x)=2sin2x-6-1.令-2+2k2x-62+2k(kZ),解得-6+kx3+k(kZ),所以函数f(x)在(0,)上的单调递增区间为0,3和56,.(2)当x8,38时,2x4,34,所以2x-612,712,所以2sin2x-66-22,2,所以当2x-6=12,即x=8时, f(x)取得最小值6-22-1,当2x-6=2,即x=3时, f(x)取得最大值1,所以f(x)在8,38上的最大值和最小值分别为1、6-22-1.
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